Un'«aula» digitale per la matematica: ecco a voi Desmos

"In principio fu"… Il test automatico. E ancora oggi uno degli usi più intensivi del digitale nella didattica riguarda la possibilità di valutare e auto-valutarsi in forma automatica e interattiva attraverso batterie di esercizi online, per esempio come quelli presenti sulla piattaforma ZTE di Zanichelli, visitata da migliaia di docenti e studenti ogni settimana. Ma le sperimentazioni digitali per la matematica non si sono fermate ai test e sono andate specializzandosi negli ultimi anni, offrendo opportunità di apprendimento sempre più sofisticate e vicine ai bisogni e ai ritmi specifici dello studente.

Qual è l’uso del digitale nella didattica della matematica diffuso fino ad oggi?

Partendo da Khan Academy, sito pioniere di video e esercizi matematici, si è arrivati agli attuali ambienti di tutoring digitale, quali Matutor e Tutor Zanichelli, dove lo studente viene accompagnato in un percorso su misura con un set completo di materiali a corredo del suo lavoro (video, text box, animazioni e simulazioni di geometria interattiva come quelle ottenibili con Geogebra) anche in forma adattativa, cioè sulla base del profilo di abilità e conoscenze dimostrate via via e di difficoltà o lacune evidenziate. Il tutto monitorabile dal docente attraverso registri formativi e tracciamento dei percorsi degli studenti. Lo sforzo più recente si è di fatto concentrato sull’uso degli strumenti digitali nel contesto di un nuovo metodo didattico che vede lo studente protagonista del suo sapere in un apprendimento attivo e "rovesciato": invece del tradizionale processo didattico, riassunto dall'espressione "formalizzare, consolidare ed esplorare", qui si procede al contrario, cioè tramite un processo considerato più efficace le cui linee guida sono "esplorare, consolidare e (quindi) formalizzare". In questa direzione si muovono anche alcune buone pratiche che prevedono l’uso di software matematici evoluti (per esempio Maple, al centro del progetto ministeriale Problem Posing &Solving PPS) e di ambienti di progettazione didattica multimediale quali Collezioni Zanichelli. Oltre agli strumenti elencati, merita sicuramente una citazione e un approfondimento il nuovo software matematico Desmos.

Quali nuove prospettive didattiche per la matematica si presentano con Desmos?

Da calcolatore grafico free, Desmos si è trasformato sempre più in un ambiente di apprendimento digitale integrato. Seguito e sviluppato da un’equipe di matematici, in gran parte docenti, Desmos si occupa di favorire una nuova pedagogia della matematica focalizzata in particolare su tre linee di azione:

Sviluppare competenze matematiche sulla linea degli Standards for Mathematical Practice (Common Core), con particolare attenzione alle competenze di modellizzazione. Oltre alla capacità di lavorare con modelli matematici, si richiede allo studente di dare senso ai problemi e perseverare nel risolverli, di argomentare i propri ragionamenti e analizzare criticamente quelli altrui, di ambire alla precisione, di riconoscere strutture e farne uso, di usare gli strumenti in modo strategico e efficace, e così via.
Utilizzare il software in forma sociale e collaborativa. L’idea è quella di passare dalla visione del digitale come utile allo studente che apprende "in solitudine" (o che al più confronta i suoi risultati con quelli dei compagni) a quella di un suo uso per un apprendimento "sociale". Desmos in questo contesto viene usato per favorire e guidare attività collaborative e di apprendimento informale tra coppie e gruppi di studenti, stimolando il confronto di idee, l’esplicitazione e l’argomentazione dei propri ragionamenti, la verifica reciproca. Sarà poi compito del docente formalizzare e ristrutturare i saperi e curare l’uso del linguaggio specifico.
Proporre nuovi scenari di aula in cui il docente, attraverso l’uso del software e di tablet o pc a disposizione degli studenti, possa osservare e supportare il lavoro dei ragazzi (utilizzando le schermate di lavoro degli studenti che gli vengono inviate in tempo reale e sono documentate in un registro iconico-visuale). Il docente può così seguire e guidare gli studenti anche prendendo il controllo delle loro schermate.

Come contribuisce Desmos al cambiamento dell’ambiente d’aula?

Entrando sul sito https://teacher.desmos.com/custom dopo essersi registrato, il docente può scegliere di creare una nuova Activity, oppure può sperimentare quelle pubblicate da altri docenti su https://teacher.desmos.com/. Ogni attività è costituita da una sequenza di schermate dove si possono inserire grafici, disegni, video, immagini, quiz, testi e predisporre caselle di testo per le risposte degli studenti. Una volta lanciata l’attività (cliccando su "create class code"), gli studenti ricevono un codice da utilizzare e con cui accedere alla stessa. Il docente vedrà visualizzate via via sul suo monitor le schermate degli studenti sia in forma ordinata, sia, se desidera, sovrapposte le une alle altre (in overlay), opzione utile per sintetizzare andamenti e confrontare previsioni, come mostrato nella figura qui sotto.

Schermate della scrivania docente in Desmos (modalità singola e overlay)

A seconda dei compiti previsti dall’attività, sul monitor del docente verranno visualizzati non solo i grafici prodotti dagli studenti, ma anche eventuali elenchi di loro risposte, brevi o argomentative, ai vari quesiti. Come detto, il senso di questo scenario d’aula è quello di favorire l’apprendimento informale e tra pari, promuovere la scoperta e personalizzare la didattica. E per ottenere tutto ciò le raccomandazioni del team di Desmos nella progettazione delle attività sono accurate e consigliano al docente di: - richiedere un’analisi informale del problema prima di quella formale (stimare prima di calcolare, congetturare prima di dimostrare, abbozzare schizzi prima di tracciare grafici, trovare regole verbali prima di quelle algebriche, usare il linguaggio comune prima di quello scolastico); - collegare diverse forme di rappresentazione (tabelle, equazioni, grafici, ma anche "contesto"); - produrre nello studente un conflitto cognitivo (per esempio, invitandolo a fare previsioni e evidenziando le diverse opinioni dei vari studenti, cioè provocandolo cognitivamente per motivarlo all’apprendimento).

Un esempio di attività, duplicata dal sito e tradotta in italiano, è "Match the parabola" visionabile qui.

Quali attività sono utili per sviluppare le competenze di modellizzazione?

Alla modellizzazione è dedicata una intera pagina del sito, visionabile qui, dove si precisa che essa è «un’operazione di semplificazione del reale che permette di fare ragionevoli (anche se imperfette) previsioni. Tutti i modelli matematici hanno limiti che devono essere pensati come fasi evolutive e migliorative del processo stesso di modellizzazione». Gli studenti devono, nell'ordine:

esaminare un problema di realtà;
tradurlo in strutture matematiche e operare su tali strutture;
interpretare i risultati nel mondo reale.

Negli esercizi tradizionali, invece, il solo lavoro richiesto è quello della fase 2 del processo di modellizzazione, cioè la sola manipolazione simbolica e "formale" delle strutture algebriche. Particolarmente interessante è l’attività Penny Circle, dove gli studenti devono scegliere il tipo di funzione (se lineare, quadratica, o esponenziale) che ritengono possa rappresentare un buon modello matematico del numero di monete contenute in un cerchio al variare del suo diametro. Al termine dell'esercizio potranno verificare di quanto modello da loro scelto e le loro previsioni discostino dal reale andamento (di fatto quadratico). Qui sotto sono riportate le schermate dell'attività Penny Circle.

Guarda il video	Quante monete ci stanno? Dai una stima
Trascina le monete e crea la tabella dati al variare del diametro	I dati sono riportati sul grafico, scegli il modello matematico opportuno
Dove si colloca la tua stima iniziale nel grafico?	Ecco la risposta alla domanda iniziale
I risultati della classe	Nuova domanda sul diametro del cerchio, dato il numero di monete

Tra gli esempi più interessanti di attività di modellizzazione presenti sul sito di particolare interesse è "In carica!", che puoi trovare qui. In questa attività gli studenti sono invitati a modellizzare una situazione mediante una funzione lineare, e si accorgono solo al termine del processo (di costruzione del modello, di previsione dei dati futuri e di controllo delle risposte) che le supposizioni iniziali e le operazioni di estrapolazione vanno riconsiderate con estrema cautela per evitare differenze importanti tra le previsioni del modello e i dati reali.

Quali attività Desmos possono stimolare maggiormente un apprendimento a gruppi?

Oltre alle Activity descritte, Desmos propone anche tipologie di attività denominate Polygraph, dove il docente può creare e raccogliere una collezione di immagini, quali grafici di funzioni matematiche o rappresentazioni di oggetti geometrici.

Schermate di Polygraph

Come mostrato nella figura 3, questi grafici vengo raccolti in una tabella e permettono a due (gruppi di) studenti di giocare tra loro secondo le regole del famoso gioco "Indovina chi". Il primo ragazzo o gruppo sceglie (ma non mostra) uno dei grafici, e il secondo studente o gruppo deve indovinare il più velocemente possibile quale sia l’oggetto selezionato, ponendo domande a risposta chiusa (vero/falso), attraverso una chat associata alla schermata.

Esempi di domande possibili che gli studenti possono porre in queste attività sono: «Ha la concavità verso l’alto?», «Ha il vertice in…?», «Interseca l’asse x in…?»; oppure ancora, nel caso di funzioni generiche: «Ha un massimo in…?», «E’ crescente?», «Ha un asintoto in…» e così via.

Si tratta di letture intuitive di grafici e rappresentazioni matematiche attraverso un linguaggio informale che porta lo studente al bisogno di definizione dei concetti e di sviluppo del linguaggio specifico con l'aiuto del docente.

Quali sono i consigli d’uso di Desmos per potenziare apprendimenti?

Di recente in Desmos sono stati inseriti diversi strumenti di controllo per l’Activity Builder: il docente può ora rendere anonimi i vari interventi degli studenti (in tal caso i loro nomi vengono sostituiti con quelli di matematici famosi), può silenziare e bloccare le loro attività per richiamare e centralizzare l’attenzione, può focalizzare su una specifica schermata e inviarla a tutti.

Schermata degli strumenti di controllo docente

Queste opzioni di "controllo" delle attività digitali evidenziano, come lo stesso team di Desmos fa sul suo blog, quanto l’uso del digitale nella didattica oscilli continuamente tra i bisogni di personalizzazione e quelli di "socializzazione" degli apprendimenti. Per i primi con il digitale si guadagna in capacità di dare al singolo l’accompagnamento o scaffolding di cui necessita e stimolare la motivazione personale; per i secondi appare importante ogni tanto silenziare la tecnologia per recuperare l'effervescenza collettiva (riprendendo in contesto moderno il concetto sociologico di Durkheim), cioè l’emozione dell’apprendimento corale. Occorre, ed è operazione didatticamente delicata e importante, bilanciare entrambi i momenti didattici.