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Il potenziale di due sfere concentriche

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Marco ha fatto una domanda:

ho dei dubbi sul seguente esercizio:
si hanno due sfere conduttrici concentriche di raggio rispettivamente 3cm e 6cm. sulle due sfere viene posta un stessa quantità di carica q=50pF, distribuita uniformemente. calcolare i potenziali elettrici delle due sfere nei seguenti casi:
-ammettendo che il potenziale sia nullo a distanza infinita
-ammettendo che il potenziale sia nullo sulla sfera esterna
-ammettendo che il potenziale sia nullo sulla sfera interna.

Ho calcolato i due potenziali e ho trovato V1=7,5V e V2=15V.
vorrei capire perchè le soluzioni del testo sono V1=22,5V e V2=15V nel primo caso e V1=7,5V nel secondo caso e V2=-7,5 nel terzo.

Grazie mille

Ecco la mia risposta:

Ancora una volta, mi farebbe comodo sapere quale scuola frequenti. Se, come sospetto, sei uno studente di liceo -- scientifico? -- immagino che tu abbia cercato di risolvere l'esercizio applicando a ciascuna sfera l'espressione del potenziale alla superficie di una sfera isolata di raggio R e dotata di una carica Q distribuita uniformemente sulla superficie. La formula in questione è:
(1)    V = Q/4πε0R
che è valida se si pone il potenziale uguale a zero all'infinito.

È utile ricordare come si ricava questa espressione. Il campo elettrico all'esterno della sfera carica isolata si può determinare con l'aiuto del teorema di Gauss. Scegliendo una superficie di flusso sferica concentrica con la sfera data, si trova che a distanza R´ dal centro il flusso vale E*4πR´2. Uguagliandolo alla carica interna Q divisa per ε0 si ottiene
(2)    E = Q/4πε0R´2
cioè l'espressione del campo elettrico di una carica puntiforme. Questa espressione vale per R´≥R. Poiché l'espressione di E coincide con quella di una carica puntiforme, anche l'espressione di V deve coincidere con quella del potenziale di una carica puntiforme. Se si pone V=0 all'infinito, si ha pertanto
(3)    V = Q/4πε0R´.
Sulla superficie della sfera si avrà V = Q/4πε0R.

Ma se all'interno della sfera di raggio R2 = 6 cm ce n'è un'altra di raggio R1 = 3 cm, con la medesima carica, il sistema si comporterà, per R´≥R2, come una carica puntiforme di valore doppio e il potenziale sulla superficie della sfera sarà 2Q/4πε0R2. Ecco perché il testo dà un valore doppio del tuo per V2.

Per trovare V1 bisogna considerare il campo elettrico nello spazio fra le superfici delle due sfere. Il teorema di Gauss permette di stabilire cha conta soltanto la carica interna Q2, quindi il campo elettrico per  R2>R´≥R1 è quello di una carica puntiforme Q2:
(4)    E = Q2/4πε0R´2.
Integrando (4) fra R2 e R1 si ottiene la differenza di potenziale:
(5)    ∆V = (Q2/4πε0)(1/R2 - 1/R1)
il cui valore per altro coincide con la differenza di potenziale di 7,5 V che tu stesso hai trovato.
Poiché il ragionamento precedente ci ha dato V2 = 15 V, si ha V1 = 22,5 V.

Per gli altri due casi ti basta sapere che, come abbiamo visto, il potenziale V1 è di 7,5 V maggiore di V2.

Spero di essere stato chiaro, ma la questione è complessa: perciò, se qualcosa è ancora oscuro, chiedi ancora.

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