Il corpo nero

Samanta chiede:

salve scusi vorrei sapere lo svolgimento della legge di Stefan-Bolztmann facendo l’integrale che va da zero a infinito della distribuzione spettrale dell’irradiamento per il quale abbiamo una energia infinita.

Ecco la mia risposta:

Forse stai facendo un po’ di confusione. La legge di Stefan-Boltzmann è una conseguenza dei principi fondamentali della termodinamica classica e fornisce la previsione corretta che l’energia totale emessa da un corpo nero (per unità di tempo e di area) è direttamente proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta.

La distribuzione spettrale dell’irraggiamento è una cosa diversa: è la legge che permette di calcolare l’energia emessa (sempre per unità di tempo e di area) in un particolare intervallo di frequenze o di lunghezze d’onda.
All’inizio del ventesimo secolo, Rayleigh e Jeans ricavarono una legge di questo tipo dalle equazioni dell’elettromagnetismo classico e trovarono la legge di Rayleigh-Jeans:
(1)     I(f) = 2f2kT / c2.
Come si vede, I(f) aumenta senza limiti all’aumentare della frequenza f. Ma l’integrale di I(f) rispetto ad f su tutte le frequenze possibili (dunque da 0 a infinito) dovrebbe risultare finito: si tratta infatti appunto del valore previsto dalla legge di Stefan-Boltzmann. Invece l’integrale da 0 a infinito dalla (1) è chiaramente infinito.
In altri termini: la legge di Rayleigh-Jeans non è compatibile né con i dati sperimentali né con la legge di Stefan-Boltzmann (anch’essa confermata dall’esperienza).

Il problema fu risolto da Planck, che determinò l’espressione corretta della distribuzione spettrale in base a ipotesi rivoluzionarie, dalle quali trasse origine la meccanica quantistica. La distribuzione di Planck ha la forma:
(2)     I(f) = 2hf3 / {[exp(hf/kT) – 1] c2}
e il suo integrale da 0 a infinito fornisce correttamente la legge di Stefan-Boltzmann.

Per la lezione