Il raggio degli acceleratori di particelle

Alice ha una domanda:

Salve, facendo la tesina sul CERN mi sono chiesta perché la misura del raggio del CERN è così elevata. Pensavo che potesse dipendere dal fatto che le cariche accelerate generando un’onda elettromagnetica vadano in qualche modo a sottrarre energia, provocando una minor accelerazione. Oppure che, essendo il campo magnetico di una spira inversamente proporzionale al raggio risulti conveniente ridurre il c.magnetico aumentando il raggio???… non ho le idee molto chiare! Non sono riuscita a trovare una spiegazione da nessuna parte!… Grazie.

Ecco la mia risposta:

L’osservazione sul fatto che una particella accelerata irradi energia elettromagnetica è ben fondata e ha la sua importanza. Ma la ragione che tu cerchi è più profonda e può essere compresa con facilità.
Ignoriamo per il momento la necessità di trattare il moto delle particelle nell’acceleratore con la relatività ristretta, necessità legata al fatto che la velocità delle particelle stesse è di pochissimo inferiore alla velocità c della luce. Abbiamo allora dei punti materiali di massa m che si muovono con velocità v su orbite circolari di raggio r: una traiettoria circolare richiede una forza centripeta:
(1)     F = mv2/r.
La forza che agisce sulle particelle e che le costringe a muoversi su una traiettoria circolare non è altro che la forza di Lorentz dovuta al campo magnetico B dei magneti a superconduttore impiegati dall’acceleratore:
(2)     F = eBv
dove e è la carica elettrica delle particelle. (Nello LHC si tratta di protoni.)
Confrontando la (1) e la (2) si vede che:
(3)     p = mv = eBr.
Questa equazione resta valida in relatività ristretta, purché a p si sostituisca non mv ma γmv, dove γ è il parametro relativistico:
(4)     γ = 1/√(1-v2/c2).
La (3) viene scritta spesso in modo che, dando il valore di B in tesla e di r in metri, si ottenga il valore della quantità di moto in GeV/c, o miliardi di elettronvolt su c. La formula così modificata risulta:
(3′)    p = 0,3Br
dalla quale si vede immediatamente che, per ottenere un valore elevato di p ovvero per accelerare le particelle, occorre che B o r (o entrambi) abbiano i valori più elevati possibile.

Nello LHC del CERN si vogliono ottenere quantità di moto dell’ordine di 7000 GeV/c. I magneti a superconduttore possono arrivare a campi magnetici dell’ordine di 5 T. Se applichi la (3′), ottieni per r un valore di circa 4,7 km, che è appunto il raggio dello LHC.
Può essere interessante osservare che se a queste velocità la fisica classica fosse ancora valida (ma non lo è…) e non dovessimo tenere conto del fattore γ (invece dobbiamo…), il raggio rischiesto sarebbe settemila volte più piccolo.

Per la lezione

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