Stefano ha una domanda:

Vorrei sapere come si possa ricavare dalle equazioni di Maxwell la legge di Ohm microscopica j = σ·E.

Ecco la mia risposta:

Semplice: non si può! Le equazioni di Maxwell descrivono le relazioni fra il campo elettrico e il campo magnetico, o fra i campi e le loro sorgenti (cariche e correnti). Non dicono invece nulla sull'effetto dei campi sulle cariche presenti nello spazio che è sede dei campi. In altri termini: non dicono in che modo un campo agisca su una carica in quiete o in movimento.

Per descrivere l'effetto dei campi sulle cariche occorre aggiungere alle equazioni di Maxwell una legge di forza:
     F = q·E + q·v×B
in base alla quale si vede che una carica immersa in un campo elettromagnetico subisce una forza data da due componenti, una elettrica e l'altra magnetica.

Nel caso dei conduttori metallici si può introdurre un modello microscopico che assimila il moto ordinato degli elettroni a un fenomeno di diffusione, che avviene con una velocità proporzionale a E. Da questo modello si può «dedurre» la forma microscopica della legge di Ohm, ma questo equivale semplicemente ad affermare che nei metalli la conduzione è un processo di diffusione.

Si può interpretare la legge di Ohm microscopica come la descrizione di un moto che avviene in un mezzo «viscoso» (simile a quello di una sfera in un liquido denso) dove è la velocità (e non l'accelerazione come nel vuoto) con cui si muovono i portatori di carica a essere direttamente proporzionale alla forza e quindi al campo elettrico.

[Nota Bene: Stefano aveva scritto: j = ρ·E. Ma in questo contesto ρ indica di solito la resistività del materiale, e in tal caso si sarebbe dovuto scrivere j = E/ρ. Ho preferito scrivere la legge usando la conduttività σ = 1/ρ.]