Rachele propone un problema:

Un elettrone si muove nel vuoto con velocità pari a 0,6 c, essendo c la velocità della luce (c = 3·10⁸ m/s). Perpendicolarmente alla direzione di moto della particella opera un campo magnetico di intensità B = 0,6 T. Si ricorda che la massa a riposo dell’elettrone è m = 9,11·10^–31 kg, mentre la sua carica è q = –1.6·10^–19 C. Si chiede di valutare:

1. il raggio della traiettoria descritta dall’elettrone;
2. come varia il raggio al crescere della velocità della particella; si calcoli, per esempio, quale valore esso assume per v = 0,9 c;
3. quale sia in questo secondo caso l’errore percentuale che si commette quando non venga fatta la correzione relativistica della massa dell’elettrone.

Ecco la mia risposta:

Il raggio della traiettoria si ottiene uguagliando la forza di Lorentz alla forza centripeta:
     qvB = mv²/r
da cui
     r = mv²/(qvB) = mv / (qB) = 1,71 mm.

Come si vede dall'espressione appena ottenuta, il raggio r è direttamente proporzionale alla velocità v. In particolare, se v aumenta di un fattore 3/2 come nell'esempio, anche r aumenta dello stesso fattore.

Il fattore relativistico γ = 1/√[1 – (v/c)²] risulta nel nostro caso pari a 1,25, per cui la massa relativistica risulta 1,25·m = 11,4·10^–31 kg. Poiché r è direttamente proporzionale a m, il valore relativisticamente corretto sarebbe r' = 2,14 mm, con un errore percentuale sul risultato non relativistico pari al 20%.