La potenza di un treno

Sergio ha un problema:

Un treno ad alta velocità, di massa 220 tonnellate, percorre una linea ferroviaria in salita con un angolo α di 5° rispetto all'orizzontale. La forza di attrito esercitata dall'aria sul treno in corsa dipende dalla velocità ed è data dall'espressione F = kv4, con k = 9·10–4 kg·s2/m3. Trascurando le altre forme di attrito, quale potenza deve erogare il motore affinché il treno proceda alla velocità costante di 290 km/h = 80,6 m/s?

Ecco la mia risposta:

La potenza dissipata da una forza F su di un corpo che si muove con velocità v si può scrivere come:
     P = W / Δt = F·Δs / Δt = F·v
Perciò la potenza dissipata dalla forza di attrito in questo caso è uguale a:
     Pattr = F·v = kv4·v = (9·10–4 kg·s2/m3)·(80,6 m/s)4·(80,6 m/s) = 3,05 MW.

Il motore deve erogare, oltre a una potenza uguale a quella dissipata dalla forza di attrito, anche una potenza pari alla velocità con cui il treno acquista energia potenziale gravitazionale. Dato che la velocità del treno ha una componente verticale vy = v·sinα = 7,02 m/s, l'altezza del treno cresce di una quantità h = 7,02 m ad ogni secondo e la sua energia potenziale cresce di una quantità U = mgh = 15,1 MJ. La potenza necessaria a fornire ad ogni secondo questa energia è appunto Pgrav 15,1 MW.

La potenza totale necessaria è quindi Pmotore = 18,2 MW.

Per la lezione