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Da un sistema di riferimento all'altro

Alessandro è in difficoltà: Un corpo si muove rispetto ad un sistema di riferimento O' di legge oraria x(t)= 4 + 2t – 3t2. Scrivere l'espressione della velocità e dell'accelerazione del corpo rispetto al sistema di riferimento O, sapendo che O' si muove rispetto ad O della seguente legge oraria: O'(t)= 3 – 4t.
leggi

Alessandro è in difficoltà:

Un corpo si muove rispetto ad un sistema di riferimento O' di legge oraria x(t)= 4 + 2t – 3t2. Scrivere l'espressione della velocità e dell'accelerazione del corpo rispetto al sistema di riferimento O, sapendo che O' si muove rispetto ad O della seguente legge oraria: O'(t)= 3 – 4t.

Ecco la mia risposta:

La legge oraria dell'origine O' del primo sistema di riferimento rispetto all'origine O del secondo sistema è una legge lineare, cioè contiene al più la prima potenza di t. Di conseguenza O' si muove rispetto a O (e viceversa) di moto rettilineo uniforme. All'istante t=0 O' occupa l'ascissa 3 m nel sistema di origine O, e la velocità di O' rispetto a O è –4 m/s. Se O è un sistema inerziale, lo è anche O'.

Passando da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, le accelerazioni rimangono invariate. Questa è una conseguenza del principio di relatività: le leggi fisiche (e dunque le forze e di conseguenza le accelerazioni) sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Poiché l'accelerazione del corpo in questione è pari a 2·(–3 m/s2) = –6 m/s2 nel sistema con origine in O', questa è anche la sua accelerazione nel sistema O.

La legge di composizione delle velocità afferma che la velocità di un corpo in un sistema O è uguale alla velocità in un sistema O' sommata alla velocità di O' rispetto ad O. Pertanto la velocità del corpo rispetto a O è 2 m/s + (–4 m/s) = –2 m/s.

P.S. Le leggi fornite andrebbero scritte come x(t) = 4 m + (2 m/s)t + ½(–6 m/s2)t2 e O'(t) = 3 m + (–4 m/s)t. Ma così l'esercizio diventa troppo facile...

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