Giulia chiede la luna:
Durante una missione sul suolo lunare, Alan Shepard, nel 1971, lanciò una pallina da golf, con un angolo di 30° rispetto all'orizzonte, che ricadde dopo 400 m. Supponi che lo stesso lancio, con la stessa velocità, venga effettuato su un asteroide di densità uguale a quella lunare. Quale massa deve avere l'asteroide perché il lancio metta in orbita la pallina?
Ecco la mia risposta:
Dalla trattazione del moto parabolico, che ho presentato più volte (ad esempio in questo articolo), si ricavano le equazioni della pallina da golf sulla Luna:\[\displaystyle x = v_{0x}\cdot t = v_0\cdot\cos(30°)\cdot t\]\[\displaystyle y = v_{0y}\cdot t - \frac{1}{2}g_L\cdot t^2=v_0\cdot\sin(30°)\cdot t - \frac{1}{2}\mathrm{1,6\,\frac{m}{s^2}}\cdot t^2\]dove si è inserito il valore dell'accelerazione di gravità sulla superficie della Luna.
L'espressione della gittata (ponendo \(y=0\) e sostituendo il valore di \(t\) in \(x\)) è \(\displaystyle x_f = \frac{2\,v_{0x}\,v_{0y}}{g_L}\) e da essa si ricava \(\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{g_L\,x_f}{2\,\sin(30°)\,\cos(30°)}}=\mathrm{27\,\frac{m}{s}}\). Dato che \(\displaystyle g=\frac{G\,M}{R^2}\) e \(M_L=\frac{4}{3}\pi\,R_L^3\,d\) la velocità iniziale della pallina si può anche scrivere \(\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{G\,M_L\,x_f}{2\sin(30°)\cos(30°)\,R_L^2}}=\sqrt{\frac{2\pi\,G\,R_L\,d\,x_f}{3\sin(30°)\cos(30°)}}\).
La velocità di fuga su un asteroide di raggio \(R_A\), densità \(d\) pari a quella lunare e massa \(M_A=\frac{4}{3}\pi\,R_A^3\,d\), si ottiene uguagliando l'energia cinetica al lancio e l'energia potenziale gravitazionale sulla superficie dell'asteroide, e risulta \(\displaystyle v_{fuga}=\sqrt{\frac{2\,G\,M_A}{R_A}}=\sqrt{\frac{8}{3}\pi\,G\,d\,R_A^2}\).
Ponendo infine \(v_{fuga}=v_0\), si ottiene un'equazione in \(R_A\) che ha per soluzione\[\displaystyle R_A=\sqrt{\frac{R_L\,x_f}{4\,\sin(30°)\cos(30°)}}=\sqrt{\frac{\sqrt 3\,R_L\,x_f}{3}}\]e passando alla massa\[\displaystyle M_A=\sqrt{\frac{\sqrt 3}{9}\frac{x_f^3}{R_L^3}}\,M_L\]
(Giulia, dì la verità, cosa avevi fatto di male? ;-) )
