Ecco la mia risposta: Quando la cassa è sul piano inclinato è soggetta a tre forze: la forza peso \(\vec F_p\) orientata verticalmente e di intensità \(F_p=mg=\mathrm{20\,N}\), che scomponiamo in una componente parallela al piano, \(F_{//}=F_p\cdot\sin(\alpha)\) e una perpendicolare a esso, \(F_{\perp}=F_p\cdot\cos(\alpha)\) ; la reazione vincolare del piano \(\vec R\) perpendicolare al piano inclinato e di intensità pari alla componente della forza peso perpendicolare al piano, \(R=F_{\perp}\); e la forza di attrito \(\vec F_a\) parallela al piano, di intensità pari al prodotto del coefficiente di attrito \(\mu\) per la componente della forza peso perpendicolare al piano, \(F_a=\mu\cdot F_{\perp}\). Con i dati dell'esercizio: \(F_p=\mathrm{20\,N}\), \(F_{//}=\mathrm{10\,N}\), \(F_{\perp}=R=\mathrm{17\,N}\).

Troviamo la forza totale. Nella somma vettoriale fra \(\vec F_p\) e \(\vec R\), \(\vec R\) e la componente \(\vec F_{\perp}\) della forza peso si annullano, e la somma parziale è uguale a \(\vec F_{//}\). La forza totale è quindi uguale alla somma fra \(\vec F_{//}\) e \(F_a\), \(\vec F_T=\vec F_{//}+\vec F_a\). Dato che queste due forze hanno verso opposto l'intensità della forza totale è \(F_T=F_{//}-F_a=mg\cdot\sin(\alpha)-\mu mg\cdot\cos(\alpha)=mg\cdot\sin(\alpha)-\mu mg\cdot\cos(\alpha)\).

Dalla seconda legge di Newton si ricava che l'accelerazione della cassa sul piano è uguale al rapporto fra la forza totale e la massa, quindi \(a=g\left(\cdot\sin(\alpha)-\mu \cdot\cos(\alpha)\right)\). Conoscendo \(a\), \(g\) e \(\alpha\) calcoliamo \(\mu=0,40\).

Per percorrere con accelerazione \(a\) una distanza pari alla lunghezza \(l\) del piano inclinato ci vuole un intervallo di tempo \(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2l}{a}}=\mathrm{3,7\,s}\). In questo intervallo di tempo la cassa acquista una velocità \(\displaystyle v=a\cdot t =\mathrm{5,5\,\frac{m}{s}}\).

Quando la cassa inizia a muoversi sul piano orizzontale, la nuova forza totale che agisce su di essa risulta uguale alla forza di attrito \(\vec F_a'\), di intensità pari a \(\mu\cdot mg\). L'accelerazione (di verso opposto al moto) risulta quindi \(\displaystyle a'=\mu g=\mathrm{3,9\frac{m}{s^2}}\).

Con questa accelerazione il tempo necessario a fermarsi è \(\displaystyle t'=\frac{v}{a'}=\mathrm{1,4\,s}\). In questo intervallo di tempo la distanza percorsa è \[\displaystyle s=v\cdot t' +\frac{1}{2}a'\cdot t'^2 = \mathrm{5,5\frac{m}{s}\cdot 1,4\,s-\frac{1}{2}3,9\frac{m}{s^2}\left(1,4\,s\right)^2=3,9\,m}.\]Si noti il segno meno attribuito all'accelerazione, legato al fatto che l'accelerazione \(a'\) è opposta al moto.