Un&#039;asta in rotazione

Questo è un esercizio sulla dinamica del corpo rigido: Due masse m1 = m2 = 2 kg sono fissate agli estremi di un'asta di massa trascurabile di lunghezza 2r = 5 cm e libera di ruotare senza attrito attorno a un asse orizzontale per il suo centro. Un pezzo di stucco di massa m = 50 g cade su una di esse con velocità v0 = 3 m/s e vi si attacca. a) Qual è la velocità angolare del sistema subito dopo l'urto? b) Riuscirà il sistema a compiere un giro intero in conseguenza dell'urto? Se no, di quanto ruota? Ecco la mia risposta: Quando il pezzo di stucco colpisce la massa \(m_1\), con l'asta immobile, il momento angolare totale del sistema è uguale a quello del pezzo rispetto al centro dell'asta: \(L=mvr=\mathrm{3,75\cdot10^{-3}\,kg\,m^2\,s^{-1}}\). Subito dopo l'impatto, questo è ancora il momento angolare totale del sistema, che ora è uguale al momento di inerzia totale \(I=(m+m_1+m_2)\cdot r^2=\mathrm{2,53\cdot10^{-3}\,kg\,m^2}\) per la velocità angolare \(\omega\): \(L=I\omega\). Ricavando \(\omega=\mathrm{1,48\,rad\,s^{-1}}\). L'energia cinetica totale del sistema subito dopo l'urto è \(K_0=\frac{1}{2}I\omega^2=\mathrm{2,78\,mJ}\). Mentre lo spostamento delle masse \(m_1\) e \(m_2\) non produce variazioni complessive di energia potenziale, l'energia potenziale diminuisce mentre la massa \(m\) scende (prima rotazione di un angolo retto), aumenta tornando al valore iniziale (secondo angolo retto) quindi aumenta al di sopra del valore iniziale dopo il primo angolo piatto. Se \(\phi\) è l'angolo di rotazione eccedente un angolo piatto, l'energia potenziale corrispondente è \(U_{\phi}=mgh=mgr\sin\phi\). Ponendo \(U_{\phi}=K_0\) si ricava:\[\displaystyle\phi=\arcsin\left(\frac{K_0}{mgr}\right)=\mathrm{13°}\]per cui l'asta non completa un giro, ma ruota di \(\mathrm{193°}\).

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Un'asta in rotazione