Questo è un esercizio sugli urti elastici:
Un neutrone in un reattore nucleare urta elasticamente e centralmente dei nuclei di carbonio inizialmente fermi.
Questo è un esercizio sugli urti elastici:
Un neutrone in un reattore nucleare urta elasticamente e centralmente dei nuclei di carbonio inizialmente fermi. Supponendo che l'energia cinetica iniziale del neutrone sia 1,6 10^-13J e sapendo che la massa di un nucleo di carbonio è 12,2 volte la massa del neutrone, quanti urti elastici e centrali sono necessari affinché la sua energia diventi 10^3 più piccola?
Ecco la mia risposta:
Per fortuna, l'energia cinetica del neutrone risulta molto minore della sua energia di riposo \(mc^2\), così che è possibile risolvere il problema in termini non relativistici.
Applicando i principi di conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica totali al problema degli urti elastici centrali (urti fra particelle puntiformi che si muovono lungo la retta che li unisce) si ricava che la velocità \(v_{f1}\) della prima particella dopo l'urto è legata alle masse \(m_1\) e \(m_2\) delle particelle e alle loro velocità iniziali \(v_{i1}\) e \(v_{i2}\) dalla relazione:
\(\displaystyle v_{f1}=\frac{(m_1-m_2)v_{1i}+2m_2v_{2i}}{m_1+m_2}\).
Ponendo \(v_{i2}=0\) e \(m_1=k\cdot m_2\) si ricava che il valore assoluto di \(v_{f1}\) è dato da:
\(\displaystyle \left|v_{f1}\right|=\frac{k-1}{k+1}\left|v_{1i}\right|\).
In altri termini, ad ogni urto il valore assoluto della velocità della prima particella (il nostro neutrone) si riduce di un fattore:
\(\displaystyle \frac{k-1}{k+1}=\frac{11,2}{13,2}\)
mentre l'energia cinetica si riduce di un fattore:
\(\displaystyle\left(\frac{k-1}{k+1}\right)^2\).
L'energia cinetica si sarà ridotta a \(10^{-3}\) del suo valore iniziale dopo un numero \(N\) di urti tale che:
\(\displaystyle\left[\left(\frac{k-1}{k+1}\right)^2\right]^N=10^{-3}\)
ovvero:
\(\displaystyle\frac{k-1}{k+1}=10^{\displaystyle-\frac{3}{2N}}\).
Questa è un'equazione esponenziale che si risolve passando ai logaritmi decimali:
\(\displaystyle-\frac{3}{2N}=\log\left(\frac{k-1}{k+1}\right)=-0,0714\)
da cui \(N=21\). L'energia del neutrone si riduce a un millesimo del suo valore iniziale dopo 21 urti.
