L’equilibrio termico di un pianeta

Questo è un esercizio sulla legge di Stefan-Boltzmann:

Una stella come il sole irraggia con una potenza di 3,8×10^(26) W. Alla distanza di 1,5×10^(11) m si trova un pianeta come il nostro, di raggio pari a 6,4×10^6 m. Assumi il valore 1 per il coefficiente e.
Prima domanda: il pianeta raggiunge una temperatura di equilibrio in seguito all’energia emessa e a quella ricevuta dalla stella?
Seconda domanda: calcola la temperatura di equilibrio, nell’ipotesi che l’unica fonte di energia sia la stella e supponendo che l’energia ricevuta si distribuisca uniformemente sul pianeta.

Ecco la mia risposta:

La temperatura di equilibrio viene raggiunta quando l’energia ricevuta al secondo (la potenza in ingresso \(P_{in}\)) risulta uguale all’energia emessa al secondo (la potenza in uscita \(P_{out}\)).

\(P_{in}\) è uguale a una frazione \(\alpha\) della potenza irraggiata dalla stella, dove \(\alpha\) è uguale al rapporto fra l’area di cielo intercettata dal pianeta (\(S=\pi R_P^2\)) e l’area di una sfera di raggio \(R_0=\mathrm{1,5\cdot10^{11}\,m}\) centrata sulla stella, \(S_0=4\pi R_0^2\). Risulta \(\alpha=\mathrm{4,55\cdot10^{-10}}\) e \(P_{in}=\mathrm{1,73\cdot10^{17}\,W}\).

\(P_{out}\) è uguale all’emissione di corpo nero \(e=1\) del pianeta, \(zS_PT^4\). Calcolato il coefficiente \(\displaystyle zS_P=2,92\cdot10^7\,\mathrm{\frac{W}{K^4}}\), si ottiene la temperatura di equilibrio:
\(\displaystyle T_{eq}=\sqrt[4]{\frac{P_{in}}{zS_P}}=\mathrm{2,8\cdot10^2\,K}\).

Per la lezione

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