Un missile relativistico

Questo è un esercizio sulla teoria della relatività ristretta:

Una stazione spaziale rileva l’arrivo di un missile alla velocità di 150 000 km/s. Il missile proviene da una astronave che viaggia nella stessa direzione e nello stesso verso del missile alla velocità di 100 000 km/s sempre rispetto alla stazione spaziale. Calcola la velocità del missile relativamente alla astronave che lo ha lanciato.

Ecco la mia risposta:

Nella teoria della relatività ristretta vale una legge di composizione delle velocità differente da quella della relatività galileiana e newtoniana.
Se un punto materiale si muove in un certo sistema di riferimento inerziale (SdR) con velocità \(v\), e esiste un secondo SdR, rispetto al quale il primo SdR si muove con velocità \(u\), allora nella relatività galileiana la velocità del punto materiale rispetto al secondo SdR è \(v’=v+u\). Nella teoria della relatività ristretta di Einstein, invece, la stessa velocità è data dall’espressione
\(\displaystyle v’=\frac{v+u}{1+\frac{v\cdot u}{c^2}}\)
dove \(c\) è la velocità della luce nel vuoto, pari a \(\mathrm{300\,000\,km/s}\) in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Nell’esercizio proposto il primo SdR è quello solidale all’astronave e il secondo quello solidale con la stazione spaziale. Quindi \(u=\mathrm{100\,000\,km/s}\), mentre \(v’=\mathrm{150\,000\,km/s}\). La nostra incognita è \(v\).
Dalla legge di composizione si ricava:
\(\displaystyle v+u=v’\left(1+\frac{v\cdot u}{c^2}\right)\)
\(\displaystyle v=v’+\left(\frac{v’\cdot u}{c^2}\right)v-u\)
\(\displaystyle v-\left(\frac{v’\cdot u}{c^2}\right)v=v’-u\)
\(\displaystyle v=\frac{v’-u}{1-\left(\frac{v’\cdot u}{c^2}\right)}=\mathrm{60\,000\,km/s}\).

Per la lezione