L’energia e il moto armonico

Questo è un esercizio difficile da decifrare:

Un oggetto si muove di moto armonico semplice di ampiezza A e pulsazione w attorno al punto di equilibrio x=0. Usare la conservazione dell’energia per dimostrare che la velocità v nella generica posizione x è data dalla seguente espressione: v=w(√(A^2-x^2)).

Ecco la mia risposta:

Il problema presentato da questo esercizio è piuttosto comune. Chi chiede un suggerimento parla di moto armonico, ma abbastanza naturalmente non pensa a spiegare quello che sa a proposito del moto armonico. Il fatto è che questo argomento, come molti altri, può essere presentato in molti modi e a diversi livelli di approfondimento. La risposta dovrebbe essere adattata al livello di competenza di chi pone la domanda.

Inevitabilmente, devo basarmi su una ipotesi. Supporrò che chi pone la domanda sappia che:

  • il moto armonico è il moto di un oggetto di massa \(m\) vincolato ad una molla di costante elastica \(k\) e soggetto soltanto alla forza elastica della molla, \(\vec F = -k\vec x\), dove \(\vec x\) è lo spostamento dalla posizione di equilibrio;
  • l’energia potenziale elastica di una molla sottoposta a una deformazione \(\vec x\) si può scrivere come \(\displaystyle U=\frac{1}{2}k\cdot x^2\);
  • la pulsazione di un moto armonico può essere espressa come \(\displaystyle\omega=\sqrt\frac{k}{m}\).

Sapendo questo, allora nella espressione dell’energia meccanica \(E= K+U\) possiamo scrivere \(\displaystyle E=K+\frac{1}{2}k\cdot x^2\). Quando l’oggetto vincolato alla molla si trova a un’estremità dell’oscillazione e lo spostamento coincide con l’ampiezza, \(x=A\), l’oggetto è istantaneamente immobile e l’energia è interamente potenziale e si può scrivere come \(\displaystyle E=\frac{1}{2}k\cdot A^2\).
Ricavando l’energia cinetica abbiamo:
\(\displaystyle K = E – U = \frac{1}{2}k\cdot A^2 – \frac{1}{2}k\cdot x^2 = \frac{1}{2}k\left(A^2-x^2\right) = \frac{1}{2}m\omega^2\left(A^2-x^2\right)\).
La velocità si può ricavare dall’energia cinetica:
\(\displaystyle v = \sqrt\frac{2K}{m} = \sqrt{\frac{1}{m}\cdot 2\frac{1}{2}m\omega^2\left(A^2-x^2\right)}= \omega\sqrt{\left(A^2-x^2\right)}\).

Per la lezione

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