La carica di un condensatore

Questo è un esercizio sui circuiti RC:

Un circuito RC è alimentato da un generatore di forza elettromotrice fem =  4,0V. Sapendo che il resistore ha resistenza R = 2,3 e il condensatore ha capacità C = 3,2, determinare la carica massima che si accumula sul condensatore e quanto tempo è necessario affinché sulle armature sia presente il 65% della carica massima. Stabilire inoltre quanto vale la differenza di potenziale fra le due armature dopo un tempo pari a tau/3.

La mia risposta:

Purtroppo il testo della domanda non indica le unità di misura della resistenza e della capacità, quindi devo ipotizzare che sia \(R=2,3\Omega\) e \(C=3,2\mathrm{F}\), anche se si tratta di valori poco realistici.

Nel processo di carica di un condensatore posto in serie a un generatore e un resistore, l’intensità di corrente \(i(t)\) nel circuito, la differenza di tensione \(V_R(t)\) ai capi del resistore e la \(V_C(t)\) ai capi del condensatore sono date dalle relazioni:
\[i(t) = \displaystyle\frac{f_{em}}{R}e^{-t/\tau}\]
\[V_R(t) = \displaystyle f_{em}e^{-t/\tau}\]
\[V_C(t) = \displaystyle f_{em}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\]
dove \(\tau=RC=\mathrm{7,36s}\) è la costante di tempo del circuito.

La carica massima che si accumula sul condensatore è il valore che il prodotto \(Q(t)=C\cdot V_C(t)\) assume quando la differenza di potenziale ai capi del condensatore assume il valore massimo, \(f_{em}\). Perciò \(Q_{max}=C f_{em}=\mathrm{12,8C}\).

A un istante \(t\) la carica presente sulle armature è \(Q(t)=C\cdot V_C(t)=C\cdot f_{em}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\). Ponendo tale carica uguale al 65% della carica massima, \(Q(t)=0,65\cdot C f_{em}\), si ottiene l’equazione:
\[f_{em}\left(1-e^{-t/\tau}\right)=0,65\cdot f_{em}\]
da cui:
\[e^{-t/\tau}=0,35\]
e infine \(t=-\tau\cdot\ln(0,35)=\mathrm{7,7s}\).

All’istante \(t’=\tau/3\) la differenza di potenziale ai capi del condensatore assume il valore
\[V_C(t’)=f_{em}\left(1-e^{-\tau/(3\tau)}\right)=f_{em}\left(1-e^{-1/3}\right)=\mathrm{1,13V}.\]

Per la lezione