Un pianeta molto denso

Questa è una domanda sulla fisica dei cartoni animati: Il pianeta di Re Kaioh, dove Goku si allena, è un pianeta di piccolissime dimensioni (raggio di circa 30 m) ma nonostante ciò ha una accelerazione gravitazionale 10 volte superiore a quella terrestre. Sapendo ciò, calcolare la densità del pianeta confrontandola con la densità del Sole, della Terra e di una stella di neutroni media (raggio di circa 16 km e massa 1,4 volte quella solare). Ecco la mia risposta: Stabiliamo due relazioni matematiche utili. La prima è quella che fornisce l'accelerazione di gravità \(g\) alla superficie di un corpo celeste di massa \(M\) e raggio \(R\). Questa accelerazione è uguale al rapporto fra la forza peso \(F=mg\) su un oggetto di massa \(m\) posto sulla superficie del corpo celeste e la massa \(m\) dell'oggetto stesso. Dalla legge di gravitazione di Newton, sapendo che la forza peso non è altro che la forza di gravità, \(\displaystyle F=mg=G\frac{Mm}{R^2}\) si ricava: \(\displaystyle g = \frac{F}{m}=\frac{GM}{R^2}\). La seconda relazione esprime il rapporto fra la densità \(\rho\) e \(\rho'\) di due corpi celesti di forma sferica. Dalla formula per il volume della sfera, \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), si ricava che: \(\displaystyle \frac{\rho}{\rho'} = \frac{\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}}{\frac{M'}{\frac{4}{3}\pi R'^3}} = \frac{\frac{M}{R^3}}{\frac{M'}{R'^3}}\). Ora veniamo al pianeta in questione. Il suo raggio \(R'\) è \(2\cdot10^5\) volte più piccolo di quello della Terra, \(R'=\frac{R_T}{2\cdot10^5}\). Sapendo che \(g'=10g\) otteniamo: \(\displaystyle \frac{GM'}{R'^2} = \frac{GM'}{\left(\frac{R_T}{2\cdot10^5}\right)^2} = 10\frac{GM_T}{R_T^2}\) da cui: \(\displaystyle M' = 10\frac{M_T}{R_T^2}\left(\frac{R_T}{2\cdot10^5}\right)^2 = 10\frac{M_T}{R_T^2}\frac{R_T^2}{4\cdot10^{10}} = \frac{M_T}{4\cdot10^9}\). Passando al rapporto fra le densità: \(\displaystyle \frac{\rho_T}{\rho'} = \frac{\frac{M_T}{R_T^3}}{\frac{M'}{R'^3}} = \frac{\frac{M_T}{R_T^3}}{\frac{\frac{M_T}{4\cdot10^9}}{\left(\frac{R_T}{2\cdot10^5}\right)^3}} = \frac{1}{\frac{\frac{1}{4\cdot10^9}}{\frac{1}{8\cdot10^{15}}}} = \frac{1}{2\cdot10^6}\). La densità del pianeta è 2 milioni di volte quella della Terra. Allo stesso modo si possono trovare gli altri rapporti fra densità.

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