Ricevo da Samanta la seguente domanda:
salve scusi,
potrebbe dimostrarmi il numero di Nepero nel modo più facile possibile, facendo uso delle successioni?
Le rispondo così:
Cara Samanta,
mi spiace annunciarti che la dimostrazione che la successione
(1+1/n)n
converge, per n -> infinito, ad un numero finito compreso tra 2 e 3, il ben noto numero di Nepero e = 2.7182818…., non è del tutto “semplice”: provo a riassumertela.
Utilizziamo la formula dello sviluppo binomiale, indicando con
(n,k) = n!/[(n-k)!k!]
il coefficiente binomiale di Newton per scrivere che:
(1+1/n)n = 1 + (n,1)(1/n) + (n,2)(1/n2) + …+ (n,n)(1/nn) =
= 1 + 1 + (1/2!)[n(n-1)]/n2 + (1/3!)[n(n-1)(n-2)]/n3 + …+ (1/n!)[n(n-1)(n-2)….]/nn =
= 2 + (1/2!)(1-1/n) + (1/3!)(1-1/n)(1-2/n)+ …+ (1/n!)(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n)
Si può osservare che la successione è monotona crescente perché, se sostituiamo n+1 a n, ogni addendo, eccetto il 2 iniziale costante, aumenta, e in più si aggiunge un termine positivo. Se ora si dimostra che la successione è superiormente limitata, si conclude, per un noto teorema, che è anche convergente ad un limite finito (che è l’estremo superiore dell’insieme dei valori della successione).
Per n > 1, osservando lo sviluppo precedente, e tenendo conto che i coefficienti 1/2!, 1/3!, …sono moltiplicati per fattori minori di 1, si può dire che:
2 < (1+1/n)n < 2 + 1/2! + 1/3! + …+ 1/n!
D’altra parte: 2! =2, 3! = 3*2 > 22, 4! = 4*3*2 > 23, …, n! > 2n-1, per cui:
2 < (1+1/n)n < 2 + 1/2 + 1/22 + …+ 1/2n-1 = 2 + (1/2)(1 + 1/2 + …+ 1/2n-2) =
= 2 + (1/2)[(1-(1/2)n-1)/(1-(1/2)] = 2 + 1 -1/2n-1 < 3
dove si è usata la formula della somma n – 1 termini di una progressione geometrica di ragione 1/2:
1 + 1/2 + …+ 1/2n-2 = [(1-(1/2)n-1)/(1-(1/2)].
Avendo dimostrato che la successione è monotona crescente e che i suoi termini, per n > 1, sono compresi tra 2 e 3, concludiamo che la successione è convergente ad un limite, compreso tra 2 e 3, che si può dimostrare (lo fa la prima volta Hermite nel 1873, ma questa è veramente troppo complessa, come dimostrazione!..) essere un numero irrazionale trascendente, cioè non ottenibile come radice di un’equazione polinomiale a coefficienti razionali: tale numero è il famoso
e = 2.7182818….
a volte dedicato allo svizzero Eulero (Leonhard Euler, 1707-1783), più spesso allo scozzese Nepero (John Napier, 1550-1617), che introdusse l’uso dei logaritmi naturali.
Infine, ti ricordo che è possibile dimostrare che il numero e è anche il limite della successione delle somme parziali della successione 1/n!, cioè e è la somma della serie convergente
Sumn=0,inf(1/n!).
Massimo Bergamini