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Il rendimento di un turbogetto...

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Ricevo da Nico la seguente domanda:

Egr. prof.,
ho bisogno di inserire nella mia tesina lo studio della funzione e rappresentazione grafica del rendimento propulsivo di un turbogetto, definito come rapporto tra potenza di spinta Pu = m(V2 – V1)V1 e la potenza di propulsione: V1 è la velocità di volo  e V2 la velocità del getto. L’espressione del rendimento
 
p = 2V1/(V1 + V2)
 
viene data in funzione del rapporto V1/V2.
Ancora una volta grazie e se qualche volta a voglia di visitare un officina di un velivolo provi a contattarmi. Grazie!!!!
 
Gli rispondo così:
 
Caro Nico,
non essendo per nulla addentro a cose di ingegneria aeronautica o di fisica di un turbogetto, mi limito a considerare gli aspetti matematici dell’espressione che mi sottoponi, riservandomi eventualmente in futuro di accettare il tuo invito!
Se, come mi sembra di capire, si vuole rappresentare la quantità p = 2V1/(V1+V2) in funzione del rapporto V1/V2, la prima cosa da fare è definire la variabile r = V1/V2 e ricavare p in funzione di r:
 
p(r) = 2V1/ [V2(V1/V2 + 1)] = 2r/(1 + r).
 
Consideriamo tuttavia i limiti da porre sulle variabili V1 e V2, che sono entrambe definite positive e tali che V2 > V1, altrimenti la potenza di spinta risulta negativa: si ha quindi:
 
p(r) = 2r/(1 + r)       0 < r < 1
 
In questo intervallo la funzione è definita e continua, vale 0 per r = 0, ed è monotona crescente: infatti la sua derivata prima
 
p’(r) = 2/(1 + r)2       0 < r < 1
 
è sempre positiva. Il valore assunto in r = 1, cioè quando le due velocità sono uguali, è quindi il massimo possibile: p(1) = 1; tale valore tuttavia corrisponde a una potenza di spinta nulla.
La rappresentazione seguente considera r variabile su tutto l’insieme dei reali: la parte significativa dal punto di vista fisico è quella compresa tra 0 e 1.
 
 
 
Buon lavoro!
 
Massimo Bergamini

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