Ricevo da Giuseppe la seguente domanda:
Egregio professore mi scusi per l'insistenza ma non riesco a svolgere lo studio di queste funzioni , cioè non riesco ad arrivare al grafico della funzione . Le chiedo sempre gentilmente come svolgere questi esercizi per poter arrivare al grafico .
1) f(x) = (1 – e2x)/(2e2x)
2) f(x) = e-x/(e-x + 2) .
Gli rispondo così:
Caro Giuseppe,
procediamo con ordine.
1) y = (1 – e2x)/(2e2x)
Si ha:
- campo di esistenza: Df = R (l’esponenziale a denominatore non è mai nullo)
- zeri e segno: y = 0 per x = 0; y > 0 => 1 – e2x > 0 => e2x < 1 => x < 0 ;
y < 0 => x > 0
- parità/disparità: né pari né dispari
- limiti: per x → +infinito, y → -1/2 (asintoto orizzontale: y = -1); per x → - inf,
y → + inf
- derivata prima: - e-2x : essendo sempre negativa la derivata prima, la funzione è ovunque monotona decrescente
- la derivata prima non si annulla mai, quindi non vi sono punti stazionari regolari, né altri punti di max/min locali
- derivata seconda: 2e-2x: essendo sempre positiva la derivata seconda, la funzione ha ovunque concavità verso l’alto e non presenta punti di flesso
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2) y = e-x/(e-x + 2)
Si ha:
- campo di esistenza: Df = R (il denominatore non è mai nullo)
- zeri e segno: y = 0 per nessun valore di x = 0; y > 0 per ogni valore di x
- parità/disparità: né pari né dispari
- limiti: per x → +infinito, y → 0 (asintoto orizzontale: y = 0);
per x → - inf, y → 1 (asintoto orizz.: y = 1)
- derivata prima: -2e-x/(e-x + 2)2 : essendo sempre negativa la derivata prima, la funzione è ovunque monotona decrescente
- la derivata prima non si annulla mai, quindi non vi sono punti stazionari regolari, né altri punti di max/min locali
- derivata seconda: 2e-x(2 - e-x)/(e-x + 2)3: la derivata seconda si annulla per x = - ln2, ed è negativa per x < -ln2, positiva per x > -ln2, pertanto la funzione ha un flesso obliquo discendente nel punto (2;1/2).
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Massimo Bergamini