Un test universitario

 

 

Ricevo da Alessandro la seguente domanda:

 

Egregio professore Massimo Bergamini,
il 1 luglio devo sostenere l’esame di calcolo 2, ma non riesco a svolgere il pre-test. Per questo motivo cerco il suo aiuto, sperando in una sua risposta al più presto,se è possibile anche lo svolgimento dell’esercizi.
La ringrazio anticipatamente, distinti saluti.
 
1. Una primitiva della funzione f(x) = x/cos2(2x) è….?
 
2. Il piano tangente al grafico della funzione f(x,y) = x2 + 4y nel punto (0,4) ha equazione…?
 
3. Sia f(x,y) = log[1/(5xy)]. Calcolare f’’xx(5,1).
 
4. Siano f(x,y) = x2 + y2 e D = {(x,y)/x2 + y2 < 25}. Indicare il valore del massimo assoluto di f(x,y) in D.
 
5. L’integrale definito della funzione f(x) = 3x5 + 1 esteso all’intervallo [0,1] vale…?
 
6. Indicare l’equazione della curva di livello z = 5 della funzione f(x,y) = y – 5xy.
 
7. Il dominio  della funzione f(x,y) = sin[Rad(y – 4x)] è l’insieme delle coppie (x,y) tali che…
 
8. La serie numerica Sumn=0+inf[1/(n+2)2] diverge, converge, oscilla….
 
9. L’integrale improprio int2+inf[1/3Rad((x-2)^2)]dx diverge,converge…ecc…
 
10. Il gradiente della funzione f(x,y) = sin(2xy) nel punto (1/2,2Pi) ha coordinate…?
 
Gli rispondo così:
 
Caro Alessandro,
cercherò volentieri di darti una mano, anche se le domande che mi sottoponi sono  molte e di argomento che in parte esula dai limiti della nostra rubrica, rivolta soprattutto ad un pubblico liceale.
 
1. Calcoliamo l’integrale indefinito int[x/cos2(2x)]dx per parti, tenendo x come fattore differenziale:
 
    Poiché
int[1/cos2(2x)]dx  = (1/2)int[1/cos2(2x)]d(2x) = (1/2)int[1/cos2(t)]dt = tg(t)/2 =
 
                                                       = tg(2x)/2
 
    abbiamo:     
int[1/cos2(2x)]dx  = xtg(2x)/2 – (1/2)int[tg(2x)]dx
 
    Calcoliamo int[tg(2x)]dx, ponendo t = 2x e quindi p = cos(t):
 
int[tg(2x)]dx = (1/2)int[sen(t)/cos(t)]dt = – (1/2)int[1/p]dp = -ln(p)/2 =
 
                                                     = -ln(cos(2x))/2
 
   Pertanto l’integrale richiesto risulta:
 
int[1/cos2(2x)]dx  = xtg(2x)/2 + ln(cos(2x))/4 + c .
 
2. In generale, data f(x,y) differenziabile in (x0,y0), l’equazione del piano tangente è:
 
z = f(x0,y0) + f’x(x0,y0)(xx0) + f’y(x0,y0)(yy0)
 
   Nel nostro caso, f(x,y) = x2 + 4y e (x0,y0) = (0,4), poiché f’x = 2x e f’y = 4, si ha:
 
z = 16 + 0(x – 0) + 4(y – 4) => z = 4y.
 
3. Data f(x,y) = log[1/(5xy)] si ha: f’x = 5xy(5y) = 25xy2 => f’’xx = 25y2 =>
 
                                                                              => f’’xx(5,1) = 25.
 
4. Le curve di livello di f(x,y) = x2 + y2 sono le circonferenze centrate nell’origine del piano x-y : la regione D è la parte di piano interna alla circonferenza di raggio 5, quindi il massimo assoluto di f(x,y) in D è 25.
 
5. L’integrale indefinito di f(x) = 3x5 + 1 è F(x) = x6/2 + x + c, pertanto l’integrale definito tra 0 e 1 vale
 
F(1) – F(0) = 3/2.
 
6. Poniamo 5 = y – 5xy e ricaviamo y in funzione di x : y(1- 5x) = 5 => y = 5/(1- 5x) (iperbole equilatera).
 
7. La funzione f(x,y) = sin[Rad(y – 4x)] è definita purché sia reale l’argomento della funzione seno, quindi:
 
Df = {(x,y)/y – 4x > 0} = {(x,y)/y > 4x }
 
   che rappresenta il semipiano dei punti al di sopra della retta y = 4x, retta compresa.
 
8. La serie di termine generale 1/(n+2)2 converge perché, a partire da n =1, è maggiorata termine a termine dalla serie convergente di termine generale 1/n2 (serie armonica generalizzata 1/na con a > 1):
 
1/(n+2)2 < 1/n2   per ogni n > 1
 
Sapendo che Sumn=1+inf[1/n2] = Pi2/6, si può inoltre dire che:
 
Sumn=0+inf[1/(n+2)2] = Summ=2+inf[1/m2] = Summ=1+inf[1/m2] – 1 = Pi2/6 – 1.
 
9. Innanzitutto osserviamo che, poiché siamo interessati a x > 2, si ha Rad((x – 2)^2) = x – 2, per cui scriviamo:
 
int2+inf[1/3x-2]dx = limk->+inf (int2k[1/3x-2]dx)
 
Calcoliamo int[1/3x-2]dx ponendo prima t = x – 2, poi p = –t :
 
int[1/3x-2]dx = int[3t]dt = – int[3p]dp = -(1/ln3)32-x
 
Pertanto:
int2+inf[1/3x-2]dx = limk->+inf (-(1/ln3)32-k + (1/ln3)30) = 0 + 1/ln3 = 1/ln3.
 
10. Il gradiente di un campo scalare in un punto è il vettore che ha per componenti le derivate parziali della funzione scalare in quel punto, pertanto nel caso di f(x,y) = sin(2xy), poiché f’x = 2ycos(2xy) e f’y = 2xcos(2xy), e, nel punto (1/2,2Pi), 2xy = 2Pi, si ha:
 
grad(f) = 1·i + 4Pi·j .
 
Massimo Bergamini

 

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