Una funzione goniometrica

Ho ricevuto da Francesco la seguente domanda:

Gentile Professore,
mio figlio che frequenta la 4° liceo scientifico, pochi giorni fa in un compito in classe ha avuto tra gli altri il seguente esercizio:
 
“STABILIRE IL DOMINIO, IL CODOMINIO ED ESEGUIRE LA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA SEGUENTE FUNZIONE”:
 
y = 1/2 – 2|sen(x/2)|
 
Grazie.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Francesco,
mentre il dominio è facilmente determinabile come l’insieme R dei numeri reali, poiché non vi sono limitazioni all’argomento della funzione seno, per quanto riguarda il codominio si può vedere la questione come un problema di trasformazioni successive operate su una funzione nota, cioè la funzione y = senx, che sappiamo avere come codominio l’intervallo [-1, 1], i cui valori vengono assunti dalla funzione con periodicità 2Pigreco (per la precisione, ogni valore in [-1,1] è assunto 2 volte dalla funzione senx in ogni intervallo di ampiezza 2Pi, eccetto i valori estremi -1 e 1, assunti una sola volta).
La prima trasformazione:
 
senx -> sen(x/2)
 
è una dilatazione lungo l’asse x di un fattore 2 che modifica il periodo della funzione, da 2Pi a 4Pi, ma non ne altera il codominio. La seconda trasformazione:
 
sen(2x) -> |sen(x/2)|
 
lascia inalterate le parti positive del grafico della funzione, mentre “ribalta” quelle negative attraverso l’asse x, per cui il codominio di |sen(x/2)| è l’intervallo [0,1]. La terza trasformazione:
 
|sen(x/2)| -> – 2|sen(x/2)|
 
è una dilatazione lungo l’asse y di un fattore – 2: i valori del codominio diventano [-2,0]. Infine, l’ultima trasformazione:
 
– 2|sen(x/2)| -> 1/2 – 2|sen(x/2)|
 
è una traslazione lungo y di 1/2, per cui i valori assunti dalla funzione coprono l’intervallo [-3/2,1/2], come si può osservare nel grafico sottostante.
 

Massimo Bergamini

 

Per la lezione