Ricevo da Sophìe la seguente domanda:
Gentile professore, non mi rimane facile risolvere questi esercizi. Grazie di cuore.
a) Dato il numero complesso z = (1 – i )11/(1 + i)7, scriverlo in forma trigonometrica e algebrica, e calcolarne le radici quarte solo in forma trigonometrica.
b) Al variare di a appartenente a R, risolvere quando possibile l'equazione
z = |z|2 + ia.
Le rispondo così:
Cara Sophìe,
riguardo al quesito a) ricaviamo innanzitutto modulo e argomento dei numeri (1 – i) e (1 + i):
(1 – i) → (rad(2),-Pi/4) (1 + i) → (rad(2),Pi/4)
Usando l’identità eix = cosx + isenx, possiamo scrivere z = (1 – i )11/(1 + i)7 in questo modo:
z = (rad(2)e-i(11Pi/4))/(rad(2)ei(7Pi/4)) = 4e-i(Pi/2) = 4[cos(-Pi/2) + isen(-Pi/2)] = - 4i.
Le quattro radici quarte sono i numeri zk di modulo rad(2) e argomenti 3Pi/8 + kPi/2, k =0,1,2,3.
Per il quesito b) osserviamo che l’equazione z = |z|2 + ia si può scrivere come:
x + iy = x2 + y2 + ia ⇒ x2 + y2 – x = 0 et y = a ⇒ x2 – x + a2 = 0
La condizione di risolvibilità di questa equazione (reale) è:
1 – 4a2 > 0 ⇒ -1/2 < a < 1/2 .
Massimo Bergamini