Ho ricevuto da Sophìe la seguente domanda:
Gentile professore,
mi può aiutare a risolvere questa equazione?
Grazie tante.
Calcolare quante soluzioni ha la seguente equazione:
$$ \bar{z}-1 = 3i|z|^2 $$
Le rispondo così:
Cara Sophìe,
la tua equazione complessa è equivalente ad un sistema di equazioni reali per i coefficienti \(x\) e \(y\) del numero complesso \(z\):
$$ x-iy-1 = 3i(x^2+y^2) \Rightarrow (x-1)-i(y+3x^2+3y^2) = 0 $$
$$ \left\{ \begin{array}{ll} x-1=0 \\ y+3x^2+3y^2=0 \end{array} \right. $$
Sostituendo \(x=1\) nella seconda equazione si ha:
$$ 3y^2+y+3=0 \Rightarrow \Delta =-35<0 $$
Ricordando che \(x\) e \(y\) devono essere numeri reali, si conclude che l’equazione è impossibile.
Massimo Bergamini