Ricevo da Svetlana la seguente domanda:
Gentile professore,
non riesco a portare a termine questo esercizio. La ringrazio di cuore.
Dato il numero complesso
$$ z=\frac{(\sqrt{3}-3i)^4}{(1+\sqrt{3}i)^6} $$
scriverlo in forma trigonometrica e algebrica e calcolare le radici quarte solo in forma trigonometrica.
Le rispondo così:
Cara Svetlana,
ricaviamo innanzitutto modulo e argomento dei numeri \( \sqrt{3}-3i \) e \( 1+\sqrt{3}i \):
$$ \sqrt{3}-3i \Rightarrow (2\sqrt{3} ,- \frac{\pi}{3}) \;, \; \; 1+\sqrt{3}i \Rightarrow (2 , \frac{\pi}{3}) $$
Usando l’identità \( \rho e^{ix}=\rho (cosx+isenx) \), possiamo scrivere \( z \) in questo modo:
$$ z=\frac{(2\sqrt{3} e^{-i \frac{\pi}{3}})^4}{(2e^{i \frac{\pi}{3}})^6}= \frac{9}{4} e^{i \frac{2\pi}{3}} $$
In forma algebrica:
$$ z=\frac{9}{4} [cos(\frac{2\pi}{3})+isen(\frac{2\pi}{3})]=-\frac{9}{8} +i\frac{9\sqrt{3}}{16}. $$
Le quattro radici quarte di \( z \) sono i numeri \( z_k \:,\:k=0,1,2,3\), di modulo \( \sqrt{\frac{3}{2}} \) e argomenti \( \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{2},\:\: k=0,1,2,3 \).
Massimo Bergamini
