Ricevo da Sofia la seguente domanda:
Gentile professor Bergamini,
non so se sono riuscita a svolgere bene questi due esercizi. Chiedo il suo aiuto. Scusi per il disturbo. Grazie.
1) Determinare il parametro reale a in modo che il numero complesso
$$ z=\frac{\sqrt{1+a^2}}{1-ai} $$ abbia l'argomento \( \frac{\pi}{4} \).
Successivamente per tale valore di a calcolare \( |z| \), \( z \) coniugato e le radici seste di \( z^6 \).
2) Scrivere i numeri complessi sia in forma trigonometrica che algebrica. Scrivere le radici seste solo di \( w \), e solo in forma trigonometrica.
$$ z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)^11 $$
$$ w=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)^11 \cdot \left( \sqrt{2}-\sqrt{2}i \right)^6 $$
Le rispondo così:
Cara Sofia,
riguardo all’esercizio 1), moltiplicando e dividendo \( z \) per il coniugato di \( 1-ai \), otteniamo:
$$ \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} + \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}i $$
La tangente dell’argomento \( \vartheta \) di \( z \) è quindi \( a \), per cui \( \vartheta = \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow a=1 \). Si ha quindi:
$$ z= \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i, \; \; |z|=1, \; \; \bar{z}= \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i $$
Le sei radici seste di \( z^6 \) si ricavano osservando che \( z^6 \) ha modulo 1 e argomento \( \frac{\pi}{4} \cdot 6 = \frac{3\pi}{2} \), cioè \( z^6 =-i \); ovviamente \( z \) stessa è la 1° delle sei radici, e a partire da questa le altre cinque si ottengono aggiungendo ogni volta \( \frac{\pi}{3} \) all’argomento. Usando l’identità \( \rho e^{ix}= \rho (cosx+isenx) \), possiamo scrivere sinteticamente le sei radici in questo modo:
$$ z_k = e^{i\left(\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{3}\right)} .$$
Nell’esercizio 2) abbiamo che \( z \) ha modulo \( \rho = 1 \) e argomento \( \vartheta=- \frac{\pi}{6} \), perciò \( z^11 \) si può scrivere, usando la notazione esponenziale:
$$ z^11 = e^{-i \frac{11\pi}{6}} = cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) -sen\left(\frac{11\pi}{6}\right) =\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{1}{2}i\right) $$
Poiché \( \left( \sqrt{2}-\sqrt{2}i \right) \) ha modulo \( \rho = 2 \) e argomento \( \vartheta=- \frac{\pi}{4} \), possiamo scrivere:
$$ w = 2 \cdot e^{-i \frac{11\pi}{6}} \cdot e^{-i \frac{\pi}{4}} = 2 \cdot e^{-i \frac{\pi}{12}} $$
Pertanto:
$$ w= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}i $$
Per quanto riguarda le sei radici seste di \( w \) si ragiona come in precedenza: ciascuno di questi sei numeri ha modulo pari alla radice sesta del modulo di \( w \), cioè \( \sqrt[6]{2} \) e gli argomenti si ottengono a partire da \( \vartheta_0 = -\frac{\pi}{72} \), essendo \( -\frac{\pi}{12} \) l’argomento di \( w \), aggiungendo multipli di \( \frac{\pi}{3} \) :
$$ \vartheta_k = -\frac{\pi}{72} + k\frac{pi}{3},\:\: k=0,1,2,3,4,5 .$$
Massimo Bergamini