Ricevo da Claudia la seguente domanda:
Egregio professore,
vorrei sottoporle due quesiti:
a)Dato il numero complesso:
$$ z=\frac{(x+i)(1+i)}{(1+i\sqrt{3})(1-i)} $$
determinare il parametro reale \( x \) in modo tale che il modulo di \( z \) sia uguale a 1.
La soluzione riportava : \( x=\pm \sqrt{3} \).
Mancando alcuni passaggi non riesco a capire la soluzione . Potrebbe cortesemente darmi una soluzione? Grazie.
b) Si calcoli il seguente limite:$$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x^2(e^x-\cos x)}{x^3-\sin^3 x}= $$
$$ =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x^2\cdot x}{(1/2)x^5}=\infty \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2(e^x-\cos x)}{x^3-\sin^3 x} $$
Perché dopo \( \infty \) viene riportato nuovamente il testo?
Grazie per le sue risposte
Le rispondo così:
Cara Claudia,
la prima questione è un paziente calcolo di algebra complessa. Diamo prima di tutto a \( z \) una forma canonica:
$$ \frac{(x+i)(1+i)}{(1+i\sqrt{3})(1-i)}=\frac{(x-1)+i(x+1)}{(1+\sqrt{3})+i(\sqrt{3}-1)}= $$
$$ =\frac{\left[(x-1)+i(x+1)\right]\cdot \left[(1+\sqrt{3})-i(\sqrt{3}-1)\right]}{8}=\frac{(\sqrt{3}x-1)+i(x+\sqrt{3})}{4} $$
Uguagliamo ad 1 il modulo di questo numero, ottenendo:
$$ (\sqrt{3}x-1)^2+(x+\sqrt{3})^2=16 \Rightarrow 4x^2=12 \Rightarrow x= \pm \sqrt{3} .$$
Riguardo al limite, non ho proprio idea del perché venga riportato nuovamente il testo! Probabilmente è un semplice errore di stampa…Più interessante lo svolgimento, dove si è effettuata una serie di sostituzioni asintotiche, giustificabili nel limite per \( x \rightarrow 0 \) con limiti notevoli e\o sviluppi di Taylor:
$$ e^x-\cos x=(e^x-1)+(1-\cos x) \simeq x $$
$$ x^3-\sin^3 x=(x-\sin x)( x^2+x\sin x+\sin^ x) \simeq (1/2)x^5 .$$
Massimo Bergamini