Ricevo da Sveva la seguente domanda:
Gentile professore, non riesco a portare a termine questo esercizio. Chiedo il suo aiuto e la ringrazio anticipatamente.
Determinare tutte le soluzioni in C dell'equazione:
Determinare tutte le soluzioni in C dell'equazione:
\[\left| -\left| z+1 \right|+\left( \bar{z}+1 \right)\arg \left( z+1 \right) \right|=-\left| \frac{1}{16}{{\left( z-\bar{z} \right)}^{2}}-4+{{\left( z+\bar{z} \right)}^{2}} \right|.\]
Le rispondo così:
Cara Sveva,
una prima elementare osservazione semplifica subito il nostro problema: un modulo può essere uguale all’opposto di un modulo se e solo se entrambi sono nulli, quindi possiamo dire che le eventuali soluzioni dell’equazione sono tutte e sole le soluzioni del sistema
Posto \(z=x+iy\), e \(arg(z)=\tan^{-1}\left( \frac{y}{x} \right)\), il sistema risulta così riscrivibile:
La prima equazione implica che sia nulla la parte immaginaria del 1° membro, cioè che sia \(y=0\vee y=k\pi \left( x+1 \right)\), e che sia nulla anche la parte reale: sostituendo i valori trovati per \(y\) in \({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=0\) si ottiene comunque \(x=-1\), e quindi \(y=0\), come sola soluzione della prima equazione; poiché facilmente si verifica che tale soluzione soddisfa anche la seconda equazione a sistema, si conclude che la sola soluzione dell’equazione iniziale è \(z=-1\).
\[ \left \{ \begin{array}{ll} -\left| z+1 \right|+\left( \bar{z}+1 \right)\arg \left( z+1 \right)=0 \\ \frac{1}{16}{{\left( z-\bar{z} \right)}^{2}}-4+{{\left( z+\bar{z} \right)}^{2}}=0 \end{array} \right. \]
\[ \left \{ \begin{array}{ll} -\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\left( x+1 \right){{\tan }^{-1}}\left( \frac{y}{x+1} \right)-iy{{\tan }^{-1}}\left( \frac{y}{x+1} \right)=0 \\ {{y}^{2}}+16{{x}^{2}}-16=0 \end{array} \right.\]
Massimo Bergamini