Ricevo da Claudia la seguente domanda:
Gentile professore,
sono in difficoltà in quanto non riesco a svolgere questo problema di matematica. Potrei avere un suo aiuto? Il testo è il seguente:
Data la funzione \(y=f(x)=e^x+\arctan(2x)\), dimostrare che \(f(x)\) è invertibile nel dominio \(\mathbb{R}\); verificare con un esempio che una funzione invertibile non è sempre monotona in senso stretto;detta \(g(y)\) la funzione inversa di \(f(x)\), calcolare \(g(1)\); calcolare la derivata di \(g\) in \(x=1\);scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di \(g\) nel punto in cui \(x=1\). La ringrazio anticipatamente,mi scusi per il disturbo. Claudia.
Le rispondo così:
Cara Claudia,
la funzione \(f(x)=e^x+\arctan(2x)\) è invertibile in quanto strettamente monotona in tutto il suo dominio \(\mathbb{R}\), il chè implica la biunivocità, quindi l’invertibilità. La stretta monotonia si evince dal fatto che la funzione, derivabile in tutto \(\mathbb{R}\), ha derivata ovunque positiva:
\[f'\left( x \right)={{e}^{x}}+\frac{2}{1+4{{x}^{2}}}>0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\]
Poiché \(f(0)=1\), si ha quindi che \({{f}^{-1}}\left( 1 \right)=g\left( 1 \right)=0\), per cui:
\[g'\left( 1 \right)=\frac{1}{f'\left( g\left( 1 \right) \right)}=\frac{1}{f'\left( 0 \right)}=\frac{1}{3}\]
e la retta tangente al grafico di \(g(x)\) in \(x=1\), cioè nel punto \((1,0)\), ha equazione
\[y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}.\]
Riguardo a invertibilità e monotonia, si deve ricordare che la condizione di invertibilità è la biunivocità della funzione: che la funzione sia strettamente monotona in tutto il suo dominio è condizione sufficiente per la biunivocità e quindi l’invertibilità, ma non è necessaria: la funzione di domino \(\mathbb{R}\) così definita
\[f(x)= \left \{ \begin{array}{ll} x \;\;\;\;\;\;\;\;\; x\in \mathbb{Q} \\ -x \;\;\;\; x\in \mathbb{Q} \end{array} \right. \]
non è monotona in nessun intervallo reale, eppure, essendo biunivoca, è invertibile, e l’inversa coincide con la funzione stessa.
Massimo Bergamini