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Geometria… e piramidi

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Ricevo da Alfonso la seguente domanda:

Caro professore, sono davvero in un guaio, mi aiuti a risolvere questo problema non l’ho capito:
I lati \(AB\), \(BC\) ed \(AC\) del triangolo \(ABC\) sono rispettivamente proporzionali ai numeri 2, 3 e 4 e il perimetro  misura 72 cm. Sia \(M\) il punto medio di \(AC\) e sia \(D\) il punto in cui la bisettrice dell’angolo in \(A\) interseca \(BC\). Provare che \(MD\) è tangente alla circonferenza inscritta in \(ABC\) e determinare il raggio della circonferenza. Sapendo che la superficie laterale della piramide retta avente per base il quadrilatero \(ABDM\) è equivalente al quadrato di lato \(AB\), determinare a quale distanza dal vertice deve essere condotto un piano parallelo a quello di base affinché il solido resti diviso in due parti delle quali quella contenente il vertice sia 27/37 della rimanente. 
Professore, mi aiuti a costruire la figura, grazie.
 
Gli rispondo così
 
Caro Alfonso,
ecco come farei la figura:
Dalla proporzione si deduce facilmente che i lati misurano rispettivamente: \(AB=16\;cm\), \(BC=24\;cm\), \(AC=32\;cm\). Poiché quindi \(AM=AB\), si ricava immediatamente (1° criterio) la congruenza dei triangoli \(ABD\) e \(AMD\), corrispondenti in una simmetria rispetto alla bisettrice \(AD\), che per definizione contiene il centro \(O\) della circonferenza inscritta: pertanto, così come \(BD\) è tangente per definizione a tale circonferenza, così lo è anche il suo simmetrico \(MD\). Il quadrilatero \(ABDM\) può quindi essere la base di una piramide retta di altezza \(AV\); il perimetro di base è deducibile dal teorema della bisettrice applicato al triangolo \(ABC\), che implica la proporzione: \(AB:BD=AC:DC\), da cui \(BD=MD=8\;cm\). Il raggio \(r\) della circonferenza inscritta è ricavabile dalla nota formula \(r=S/p\), essendo \(S\) l’area del triangolo e \(p\) il suo semiperimetro. Ricata l’area \(S\) con la formula di Erone o con l’inverso del teorema di Carnot, si ottiene: \(r=\frac{48\sqrt{15}}{36}=\frac{4\sqrt{15}}{3}\ cm\).
Poiché la superficie laterale della piramide è \(S_L=a\cdot p\), dove \(a\) è l’apotema e \(p\) il semiperimetro di base, possiamo ricavre tale apotema facilmente: \(a=256/24\;cm=32/3\;cm\); noto \(a\), ricaviamo l’altezza \(AV\) della piramide: \(AV=\sqrt{{{a}^{2}}-{{r}^{2}}}=28/3\ cm\).
L’ultima questione necessita di una premessa: il vertice \(V\) di una piramide può essere pensato come il centro di una omotetia che “ingrandisce” ogni sezione della piramide parallela alla base proporzionalmente al quadrato della distanza del piano secante dal vertice \(V\), pertanto, detta \(S(x)\) l’area della sezione a distanza \(x\) dalla base,  detta \(h=AV\) l’altezza, e detto \(V(x)\) il volume della piramide di base \(S(x)\) e altezza \(x\), si ha:
\[S\left( x \right):S\left( h \right)={{x}^{2}}:{{h}^{2}}\Rightarrow \left( S\left( x \right)x/3 \right):\left( S\left( h \right)h/3 \right)={{x}^{3}}:{{h}^{3}}\Rightarrow V\left( x \right):V\left( h \right)={{x}^{3}}:{{h}^{3}}\]
Quindi, posto \(R(x)=V(h)-V(x)\), cioè detta \(R(x)\) la parte rimanente della piramide se privata della “punta” \(V(x)\), si può dire:
\[{{x}^{3}}=\frac{{{h}^{3}}\cdot V\left( x \right)}{V\left( h \right)}=\frac{{{h}^{3}}\cdot V\left( x \right)}{V\left( x \right)+R\left( x \right)}=\frac{\left( V\left( x \right)/R\left( x \right) \right){{h}^{3}}}{\left( V\left( x \right)/R\left( x \right)+1 \right)}=\frac{\left( 27/37 \right)}{\left( 27/37+1 \right)}=\frac{27}{64}{{h}^{3}}\]  
da cui si ricava:                                                                     \[x=\frac{3}{4}h=7\ cm.\]
Massimo Bergamini

 

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