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Tre equazioni complesse

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Ricevo da Sveva la seguente domanda:

Gentile professore, ho un problema con queste equazioni complesse. Grazie tante.
1)         \[{{z}^{2}}-i\,\bar{z}=0\]
2)         \[{{\left( z+2i \right)}^{2}}=4{{\left| z \right|}^{2}}-8{{\left( Im(z) \right)}^{2}}\]
3)         \[{{\left( z-i \right)}^{3}}=8i\]
              
Le rispondo così:
 
Cara Sveva,
posto \(Re(z)=x\) e \(Im(z)=y\), cioè \(z=x+iy\),   possiamo trasformare ciascuna delle prime due equazioni complesse in un sistema di due equazioni nelle incognite reali \(x\) e \(y\).
1)
                \[{{\left( x+iy \right)}^{2}}-i\left( x-iy \right)=0\Rightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2ixy-ix-y=0\Rightarrow \]
                      \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x^2-y^2-y=0 \\ x(2y-1)=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} y(y+1)=0 \\ x=0 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{ll} x^2=3/4 \\ y=1/2 \end{array} \right.\]
per cui le soluzioni sono le coppie \((0,0)\), \((0,-1)\), \((\sqrt{3}/2,1/2)\), \((-\sqrt{3}/2,1/2)\), cui corrispondono i numeri complessi
          \[{{z}_{1}}=0,\ {{z}_{2}}=-i,\ {{z}_{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2},\ {{z}_{4}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\ .\]
2)
\[{{\left( x+iy+2i \right)}^{2}}=4\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-8{{y}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ixy-4+4ix-4y=4{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}\Rightarrow \]
                      \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} 3x^2-3y^2+4y+4=0 \\ x(y+2)=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} -3y^2+4y+4=0 \\ x=0 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{ll} x^2=16/3 \\ y=-2 \end{array} \right.\]
per cui le soluzioni sono le coppie \((0,-2/3)\), \((0,2)\), \((4\sqrt{3}/3,-2)\), \((-4\sqrt{3}/3,-2)\), cui corrispondono i numeri complessi
              \[{{z}_{1}}=-\frac{2}{3}i,\ {{z}_{2}}=2i,\ {{z}_{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}-2i,\ {{z}_{4}}=-\frac{4\sqrt{3}}{3}-2i\ .\]
3)
La terza equazione conviene risolverla in questo modo: posto \(z-i=w\), si conclude che \(w\) può assumere come valori le tre radici terze complesse del numero \(8i\) che, posto \(8i\) in forma trigonometrica o esponenziale, con modulo 8 e argomento \(\pi/2\), facilmente si individuano in:
                                             \[{{w}_{1}}=\sqrt{3}+i,\ {{w}_{2}}=-\sqrt{3}+i,{{w}_{3}}=-2i\ \]
da cui:
\[{{z}_{1}}=\sqrt{3}+2i,\ {{z}_{2}}=-\sqrt{3}+2i,\ {{z}_{3}}=-i\ .\]
Massimo Bergamini

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