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Alcune equazioni complesse

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Ricevo da Sophìe la seguente domanda:

Gentile prof, mi aiuti a svolgere queste  equazioni dei numeri complessi. Grazie

\[1)\;\;{{\left| z \right|}^{2}}\cdot {{z}^{2}}=i\]
\[ 2)\;\;z+i{{z}^{2}}=-2i\]
\[3)\;\;{{z}^{2}}+z\cdot \bar{z}=1+2i\]
\[4)\;\;z\left| z \right|-2z-1=0\]
                   
Le rispondo così:
 
Cara Sophìe,
come metodo generale potremmo dire che ogni equazione complessa può essere ridotta ad un equivalente sistema di due equazioni per le variabili reali \(x=Re(z)\) e \(y=Im(z)\), essendo \(z=x+iy\), anche se a volte possono essere più economiche le notazioni trigonometriche o esponenziali.
1) \[\left(x^2+y^2 \right)\left(x^2-y^2+2xyi \right)=i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x^4-y^4=0 \\ 2x^3y+2xy^3=1 \end{array} \right.\Rightarrow \]
\[\Rightarrow\left\{ \begin{array}{ll} y=\sqrt{2}/2 \\ x=\sqrt{2}/2 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{ll} y=-\sqrt{2}/2 \\ x=-\sqrt{2}/2 \end{array} \right.  \]
cioè le soluzioni sono: \(z_1=\sqrt{2}/2+i\sqrt{2}/2\), \(z_2=-\sqrt{2}/2-i\sqrt{2}/2\).
2) \[x+i\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi  \right)=-2i\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x-2xy=0 \\ x^2-y^2=-2 \end{array} \right. \Rightarrow \]
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x=0 \\ y=\pm\sqrt{2}/2 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{ll} y=1/2 \\ x^2=-7/4 (imp.) \end{array} \right.  \]
cioè le soluzioni sono: \(z_1=+i\sqrt{2}/2\), \(z_2=-i\sqrt{2}/2\).
3)  \[x^2-y^2+2xyi+x^2+y^2=1+2i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} 2x^2=1  \\ xy=1 \end{array} \right.\Rightarrow \]
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x=\sqrt{2}/2 \\ y=\sqrt{2} \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{ll} x=-\sqrt{2}/2 \\ y=-\sqrt{2} \end{array} \right.  \]
cioè le soluzioni sono: \(z_1= \sqrt{2}/2+i\sqrt{2} \), \(z_2=-\sqrt{2}/2-i\sqrt{2} \).
4) \[\left(x+iy\right)\sqrt{x^2+y^2}-2\left(x+iy\right)-1=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x\sqrt{x^2+y^2}=2x+1  \\ y\left(\sqrt{x^2+y^2}-2\right)=0 \end{array} \right.\Rightarrow \]
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} y=0 \\ x|x|=2x+1 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{x^2+y^2}=2 \\ 2x=2x+1 (imp.)  \end{array} \right.  \]
Poiché il primo sistema equivale ai seguenti due:
\[ \left\{ \begin{array}{lll} y=0 \\ x>0 \\ x^2-2x-1=0 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{lll} y=0 \\ x<0 \\ x^2+2x+1=0 \end{array} \right. \]
le soluzioni sono: \(z_1= -1 \), \(z_2=1+\sqrt{2} \).
 
Massimo Bergamini

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