Ricevo da Paola la seguente domanda:
Gentile professore, mi può aiutare a svolgere questa equazione e a spiegarmi in modo dettagliato lo svolgimento? Grazie.
Determinare tutte le soluzioni in \(\mathbb{C}\) dell'equazione:
\[\left| \left( z+2 \right)-\left| \bar{z}+2 \right|\arg \left( z+2 \right) \right|=-\left| -{{\left( z-\bar{z} \right)}^{2}}-4+\frac{1}{4}{{\left( z+\bar{z} \right)}^{2}} \right|\quad .\]
Le rispondo così:
Cara Paola,
la prima osservazione da fare è che, essendo i moduli numeri reali non negativi, la richiesta che un modulo sia uguale all’opposto di un altro modulo può essere soddisfatta se e solo se questi sono entrambi nulli; quindi l’equazione è soddisfatta se e solo se sono contemporaneamente nulle le espressioni all’interno dei due moduli:
\[\left\{ \begin{array}{ll} \left( z+2 \right)-\left| \bar{z}+2 \right|\arg \left( z+2 \right)=0 \\ -{{\left( z-\bar{z} \right)}^{2}}-4+\frac{1}{4}{{\left( z+\bar{z} \right)}^{2}}=0 \end{array} \right. \;.\]
Consideriamo la prima equazione: notiamo il fatto che
\[\left| \bar{z}+2 \right|=\left| \overline{z+2} \right|=\left| z+2 \right|\]
per cui, posto \(z+2=w\), l’equazione equivale a
\[w=\left| w \right|\cdot \arg \left( w \right)\]
Ma, poichè \(0\le \arg \left( w \right)<2\pi\), si ha quindi che \(w\) deve essere un numero reale non negativo, cioè tale che \(\arg \left( w \right)=0\) e \(w=\left| w \right|\): l’equazione si riduce allora a
\[\left| w \right|=\left| w \right|\cdot 0\to \left| w \right|=0\to w=0\to z+2=0\to z=-2\quad .\]
Proviamo, per sostituzione, a verificare se \(z=-2\) sia soluzione anche della seconda equazione:
\[-{{\left( -2+2 \right)}^{2}}-4+\frac{1}{4}{{\left( -4 \right)}^{2}}=0\to -4+4=0\quad .\]
Quindi \(z=-2\) è l’unica soluzione dell’equazione.
Massimo Bergamini