Ricevo da Cristina la seguente domanda:
buonasera professore, scrivo per chiederle un chiarimento su come posso risolvere il seguente limite:
\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3x}}\]
In attesa di un suo riscontro ringrazio anticipatamente per la cortesia e la disponibilità
Cordiali saluti
Le rispondo così:
Cara Cristina,
il limite si presenta nella forma indeterminata \(0^0\), ma la funzione in questione può essere così riscritta:
\[{{x}^{3x}}={{e}^{\ln \left( {{x}^{3x}} \right)}}={{e}^{3x\cdot \ln x}}\]
Il limite è così ricondotto al calcolo del limite \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 3x\cdot \ln x \right)\), che è pure una forma indeterminata ma del tipo \(0\cdot \infty\), a sua volta riconducibile ad una forma \(\infty/\infty\):
\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3x}}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{3x\cdot \ln x}}={{e}^{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 3x\cdot \ln x \right)}}={{e}^{3\cdot \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\ln x}{1/x} \right)}}\]
Il limite \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\ln x}{1/x} \right)\]si può calcolare con il teorema di de l’Hopital: sostituendo ai termini del rapporto le rispettive derivate, si ha:
\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\ln x}{1/x} \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1/x}{-1/{{x}^{2}}} \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -x \right)=0\ .\]
Quindi, in conclusione:
\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3x}}={{e}^{0}}=1\ .\]
Massimo Bergamini