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Identità e radici complesse

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Ricevo da Paola la seguente domanda:

Caro professore,
mi aiuterebbe a svolgere questo esercizio di numeri complessi? Grazie di cuore.
1) Provare che
             \[{{\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{6}}+{{\left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{6}}=2\ .\]
2) Calcolare le radici terze di
                                                         \[z=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\quad .\]

Le rispondo così:
 
Cara Paola,
risulta molto efficace e comoda, in questo tipo di esercizio, la forma esponenziale dei numeri complessi: detti \(\rho \) e \(\alpha \) modulo e argomento del numero \(z\), poniamo
                                                                 \[z=\rho \cdot {{e}^{\alpha i}}\]
dove si conviene l’identità di Eulero \[{{e}^{\alpha i}}\equiv \cos \alpha +i\sin \alpha \;.\]
Nel primo esercizio, osserviamo quindi che la relazione può così essere riscritta e sviluppata:
\[{{\left( {{e}^{\frac{2}{3}\pi i}} \right)}^{6}}+{{\left( {{e}^{-\frac{2}{3}\pi i}} \right)}^{6}}=2\ \Rightarrow {{e}^{4\pi i}}+{{e}^{-4\pi i}}={{e}^{0}}+{{e}^{0}}=2\]
avendo fatto un ovvio uso della periodicità dell’argomento angolare.
Nel secondo esercizio, del numero \[z={{e}^{\frac{2}{3}\pi i}}\]si devono trovare le tre radici terze, che saranno i tre numeri complessi unitari, ciè di modulo 1, i cui argomenti \(\alpha \) soddisfano la seguente uguaglianza:
                                                    \[3\alpha =\frac{2}{3}\pi +2k\pi ,\quad k=0,1,2\]
cioè:
            \[{{z}_{1}}={{e}^{\frac{2}{9}\pi i}},\ {{z}_{1}}={{e}^{\frac{8}{9}\pi i}},\ {{z}_{1}}={{e}^{\frac{14}{9}\pi i}}\quad .\]

Massimo Bergamini

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