Ricevo da Marco la seguente domanda:
Gentile professore,
ho dei problemi a risolvere la seguente equazione. Ho provato a sfruttare la forma cartesiana di \(z\) ma mi sono arenato nei calcoli. Grazie.
Determinare gli \(z\) complessi tali che:
\[\left| z-\left| z+1 \right| \right|=\left| z+\left| z-1 \right| \right|\ .\]
Gli rispondo così
Caro Marco,
proviamo a sviluppare l’espressione in termini cartesiani, avendo posto \(z=x+iy\):
\[\left| x+iy-\left| x+1+iy \right| \right|=\left| x+iy+\left| x-1+iy \right| \right|\Rightarrow \left| x+iy-\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|=\left| x+iy+\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|\Rightarrow\]
\[\Rightarrow {{\left( x-\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x+\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\Rightarrow x-\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\pm \left( x+\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)\]
La scelta del segno “-” porta a un’equazione impossibile:
\[-\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=+\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\Rightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=0\wedge {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\Rightarrow y=0\wedge \left( x=1\wedge x=-1 \right)\ ?\]
La scelta del segno “+” porta alla seguente equazione:
\[2x+\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\quad .\]
Come equazione reale di tipo irrazionale, una prima condizione di esistenza è la non negatività del 1° membro (la non negatività dei radicandi è data per ogni \(x\), \(y\), essendo somma di quadrati), che si può esprimere così:
\[\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\ge -2x\]
che equivale all'unione delle soluzioni dei seguenti sistemi
\[ \left\{ \begin{array}{ll} x\leq 0 \\ 3x^2-y^2+2x-1\leq 0 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin{array}{ll} x>0 \\ x^2+y^2-2x+1\geq 0 \end{array} \right. \]
Elevando al quadrato entrambi i membri e riordinando l’equazione si ha:
\[\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=1-x\]
Integrando le condizioni di esistenza con la condizione \(x\leq 1\), possiamo ulteriormente elevare al quadrato ed ottenere:
\[{{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}={{x}^{2}}-2x+1\Rightarrow y=0\;.\]
Posto che \(y=0\), il complesso delle condizioni di accettabilità delle soluzioni si riassume così:
\[ \left\{ \begin{array}{ll} x\leq 0 \\ 3x^2-y^2+2x-1\leq 0 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin{array}{ll} x>0 \\ x^2+y^2-2x+1\geq 0 \end{array} \right. \]
da cui \(-1\leq x \leq 1\), per cui le soluzioni sono tutti e soli in numeri complessi \(z=x+iy\) tali che o \(x=0\), cioè tutti gli immaginari puri \(\left\{ z=iy,\ y\in \mathbb{R} \right\}\), o \(y=0\;\wedge -1\leq x\leq1\), cioè l’insieme di numeri complessi di tipo reale \(\left\{ z=x,\ x\in \mathbb{R}\wedge -1\le x\le 1 \right\}\).
Massimo Bergamini