Ricevo da Laura la seguente domanda:
Caro professore, ho difficoltà a risolvere questo esercizio:
Sia \(f(x)=a\cdot 2^x + b\cdot 2^{-x}+c\) con \(a\), \(b\), \(c\) reali, si determinino \(a\),\(b\) e \(c\) in modo che:
\(f(x)\) sia pari;
\(f(0)=2\);
\(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\,dx=\frac{3}{2\ln 2}\).
La ringrazio anticipatamente.
Le rispondo così:
Cara Laura,
la condizione di parità implica \(f(-x)=f(x)\) per ogni \(x\), per cui:
\[a\cdot {{2}^{-x}}+b\cdot {{2}^{x}}+c=a\cdot {{2}^{x}}+b\cdot {{2}^{-x}}+c\Rightarrow \left( a-b \right)\left( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}} \right)=0\ \forall x\Leftrightarrow a=b\ .\]
La condizione \(f(0)=2\) implica allora \(2a+c=2\), cioè \(c=2-2a\), e infine:
\[\int\limits_{0}^{1}{\left( a{{2}^{x}}+a{{2}^{-x}}+2-2a \right)}\,dx=\frac{3}{2\ln 2}\Rightarrow \left( \frac{a}{\ln 2}{{2}^{x}}-\frac{a}{\ln 2}{{2}^{-x}}+2x-2ax \right)_{0}^{1}=\frac{3}{2\ln 2}\Rightarrow \]
\[\Rightarrow \frac{2a}{\ln 2}-\frac{a}{2\ln 2}+2-2a=\frac{3}{2\ln 2}\Rightarrow \left( a-1 \right)\left( \frac{3}{2\ln 2}-2 \right)=0\Rightarrow a=1\ .\]
In definitiva, la funzione cercata è:
\[f\left( x \right)={{2}^{x}}+{{2}^{-x}}\ .\]
Massimo Bergamini