Ricevo da Paola la seguente domanda:
Gentile prof. mi aiuti a risolvere quest'esercizio.
studio completo della funzione
\[f\left( x \right)={{e}^{\frac{x}{x+1}}}\quad .\]
Scrivere inoltre l'equazione della retta tangente al grafico della funzione sopra indicata nel punto di ascissa \(x_0 =0\).
Le rispondo così:
Cara Paola,
la funzione è definita in tutto l’asse reale ad eccezione di \(x=-1\), ed è ovviamente sempre positiva, in quanto esponenziale. Non presenta simmetrie. I limiti significativi sono i seguenti:
\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{x}{x+1}}}={{e}^{\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x+1}}}={{e}^{1}}=e\quad \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{x}{x+1}}}={{e}^{\frac{-1}{{{0}^{-}}}}}={{e}^{+\infty }}=+\infty \quad \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{x}{x+1}}}={{e}^{\frac{-1}{{{0}^{+}}}}}={{e}^{-\infty }}=0\ .\]
Il grafico presenta quindi un asintoto verticale (solo da sinistra) per \(x=-1\), e un asintoto orizzontale per \(y=e\).
La derivata prima è data da
\[f'\left( x \right)=\frac{{{e}^{\frac{x}{x+1}}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\]
e chiaramente si conclude che, essendo tale derivata sempre positiva e mai nulla, la funzione non ammette estremi relativi di tipo regolare ed è monotona crescente in ogni intervallo contenuto nel dominio (attenzione, non nel dominio nel suo complesso, come si può ben osservare dal grafico, ma nelle semirette \(x<-1\) e \(x>-1\) separatamente). La funzione è limitata inferiormente, e 0 ne rappresenta l’estremo inferiore (non minimo), ma non superiormente.
La derivata seconda:
\[f''\left( x \right)=-\frac{{{e}^{\frac{x}{x+1}}}\left( 2x+1 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\]
è positiva per \(x<-1/2\), negativa per \(x>-1/2\), e quindi in \(x=-1/2\), dove si annulla, si ha un flesso obliquo, poiché la concavità è prima rivolta verso l’alto, poi verso il basso.
Infine, poiché per \(x=0\) si ha \(f(0)=1\) e \(f’(0)=1\), la retta tangente ha equazione \(y=x+1\).
Massimo Bergamini