Ricevo da Jenny la seguente domanda:
Caro prof, sto provando a a fare qualche esercizio del suo libro per l'esame.....mi trovo molto in difficoltà… Ad esempio a pag. 284 V non ho saputo fare il primo punto del n°18. Cosa significa studiare una funzione al variare di \(k\)? Poi, per quanto riguarda il n°19 di pagina 285 V , a parte lo studio di funzione, non riesco a capire come determinare la funzione inversa..... Ho letto che la funzione inversa è sempre simmetrica alla curva rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.... Nel grafico questa informazione mi potrebbe aiutare? La ringrazio antricipatamente dell'aiuto che potrà darmi.
Le rispondo così:
Cara Jenny,
in effetti, discutere l’andamento di una famiglia di curve al variare di un parametro \(k\in\mathbb{R}\) da cui esse dipendono può significare cose un po’ diverse a seconda di quali aspetti delle funzioni si vogliono mettere in rilievo: diciamo che, come specificato nella richiesta dell’esercizio, nel nostro caso siamo interessati a stabilire per quali intervalli di valori di \(k\), o per quali specifici valori di \(k\), la funzione si presenti in un dato modo riguardo al dominio, all’avere o meno max e min relativi (in che numero e in quale ordine), all’avere o meno simmetrie; aggiungerei anche, all’avere o meno degli zeri, cioè intersezioni con l’asse \(x\), ed eventualmente anche altre caratteristiche peculiari. La famiglia di funzioni in questione è:
\[y=\frac{k{{x}^{2}}-k+1}{{{x}^{2}}+1}\ .\]
Cominciamo dal dominio, per osservare che per ogni valore di \(k\) la funzione è definita su tutto \(\mathbb{R}\) è tende a \(k\) agli infiniti, quindi ha \(y=k\) come asintoto orizzontale. Esaminiamo quindi il numeratore, che è la sola parte della funzione che dipenda dal parametro: si nota subito che, per ogni \(k\in\mathbb{R}\), la funzione risulta simmetrica rispetto all’asse \(y\), poiché dipende da \(x\) solo attraverso \(x^2\). Inoltre, si osserva che il valore in \(x=\pm 1\) della funzione è sempre \((1/2)\), per cui \((-1,1/2)\) e \((1,1/2)\) sono punti comuni a tutte le curve della famiglia; e per \(k=1/2\), la funzione si riduce alla costante \(y=1/2\)! La funzione interseca l’asse \(x\) se e solo se \((k-1)/k\geq 0\), cioè per \(k<0\) vel \(k\geq 1\). La funzione derivata:
\[y'=\frac{2x\left( 2k-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]
si annulla solo per \(x=0\), dove si ha un max relativo, se \(k<1/2\), un min relativo se \(k>1/2\), come si deduce dall’andamento del segno della derivata stessa; si noti che per \(k=1/2\) la derivata è la costante nulla, coerentemente col fatto che per tale valore di \(k\) la funzione è costante.
Riguardo al secondo problema, considerta la funzione
\[y=\frac{\left| x \right|}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}}\]
solamente per \(x>\sqrt{2}\), abbiamo la funzione
\[h(x):\ \ y=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-2}},\quad x>\sqrt{2}\]
la cui derivata
\[y'=-\frac{2}{{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{3/2}}},\quad x>\sqrt{2}\]
è sempre negativa nell’intervallo \(x>\sqrt{2}\), per cui è monotona (decrescente), quindi invertibile. La funzione tende a 1 per \(x\) che tende a \(+\infty\), e tende a \(+\infty\) per \(x\) che tende a \(\sqrt{2}\) da destra, per cui il codominio è l’intervallo \(]1,+\infty[\). La funzione inversa può essere determinata analiticamente esplicitando l’espressione di \(h(x)\) rispetto a \(y\), scambiando poi in nomi delle variabili:
\[{{y}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)={{x}^{2}}\to x=\frac{\sqrt{2}\,y}{\sqrt{{{y}^{2}}-1}}\Rightarrow {{h}^{-1}}(x):\ \ y=\frac{\sqrt{2}\,x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}},\quad x>1\]
dove si nota che quello che era il codominio di \(h(x)\) è diventato il dominio di \({{h}^{-1}}(x)\). Da un punto di vista grafico, la tua osservazione riguardo alla simmetria rispetto alla retta \(y=x\) è corretta, come puoi osservare.
Massimo Bergamini