Un’equazione complessa

Ricevo da Sveva la seguente domanda:

Gentile professore, chiedo il suo aiuto per svolgere questo esercizio. La ringrazio di cuore.
Determinare tutte le soluzioni in \(\mathbb{C}\) dell’equazione
                   \[{{\left( z\cdot \bar{z}-4 \right)}^{2}}+{{\left( \arg \left( z+i \right)-\frac{\pi }{2} \right)}^{2}}=0\ .\]
 
Le rispondo così:
 
Cara Sveva,
poiché l’equazione equivale, a ben vedere, alla richiesta che la somma dei quadrati di due numeri reali sia nulla, tale equazione equivale al seguente sistema:
\[\left\{ \begin{array}{ll}  z\cdot \bar{z}-4 =0\\ \arg \left( z+i \right)-\frac{\pi }{2} =0  \end{array} \right. \]
cioè
\[\left\{ \begin{array}{ll} x^2+y^2=4 \\ Re(z+i)=x=0 \end{array} \right. \]
da cui facilmente si deducono le soluzioni:
                                                         \[{{z}_{1}}=2i\quad \quad {{z}_{1}}=-2i\,.\]
Massimo Bergamini

 

Per la lezione

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