Ricevo da Isabella la seguente domanda:
Gentile professore,
studiando la funzione
\[f\left( x \right)=\arccos \left( \sqrt{\frac{4x+7}{4x-7}} \right)\]
noto che il dominio è \(]-\infty;-4/7]\), tende a zero per \(x\) che tende \(-\infty\) e \(f(-4/7)=\pi/2\), tracciando il grafico con questi pochi elementi si deduce che la \(f(x)\) sia crescente, la derivata prima invece è sempre \(<0\), quindi dovrebbe essere sempre decrescente....pertanto non riesco a capire dove sbaglio. Poi chiede se questa funzione è uniformemente continua (io ho risposto che non lo è perchè non ammette asintoto obliquo) e se è integrable in senso generalizzato su \(]-\infty;-4/7]\)....sì lo è perchè la \(f(x)\) è continua in tale intervallo ed esiste il limite per \(x\) che tende a \(-\infty\) della \(f(x)\) che vale \(\pi/2\).....per fortuna questa volta non c'è da calcolare l'integrale.
La ringrazio in anticipo e le auguro buon lavoro
Isabella Lombardi
Le rispondo così:
Cara Isabella,
mi sembra che nella tua domanda ci sia un po’ di confusione. Innanzitutto il dominio è \(]-\infty;-7/4]\), non \(]-\infty;-4/7]\), e soprattutto la derivata prima è sempre positiva in \(]-\infty;-7/4[\), essendo:
\[f'\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4x+7}{4x-7}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{4x+7}{4x-7}}}\cdot \frac{-56}{{{\left( 4x-7 \right)}^{2}}}=\frac{28}{{{\left( 4x-7 \right)}^{2}}\sqrt{\frac{-14}{{{\left( 4x-7 \right)}^{2}}}}}\Rightarrow \]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{2\sqrt{14}}{\left| 4x-7 \right|\sqrt{-4x-7}}\quad \ x<-\frac{7}{4}\]
Pertanto, la funzione risulta crescente, limitata tra 0 (inf) e \(\pi/2\) (max), con derivata non limitata, poiché \(f^\prime (x)\) tende a \(+\infty\) per \(x\) che tende a \(-7/4\) da sinistra.
Per quanto riguarda l’uniforme continuità, non capisco perché tu voglia avere un asintoto obliquo quando evidentemente la funzione ammette un asintoto orizzontale, ed essendo la funzione definita e continua in un intervallo del tipo \(]-\infty;a]\), questa è condizione sufficiente per l’uniforme continuità, in base appunto al cosiddetto teorema dell’asintoto.
Anche riguardo all’integrabilità in senso generalizzato non capisco bene le tue considerazioni… La funzione non è integrabile in senso generalizzato in \(]-\infty;-4/7]\), come potrebbe essere verificato direttamente, se pur con fatica, ricavando la funzione integrale
\[F\left( x \right)=\int\limits_{x}^{-4/7}{\arccos \left( \sqrt{\frac{4t+7}{4t-7}} \right)\,dt}\]
e mostrando che \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,F\left( x \right)=\infty\). Ma poiché la funzione \(f(x)\) è di segno uniforme (positivo) nel suo dominio, si può ottenere lo stesso risultato utilizzando il confronto con un’altra funzione \(g(x)\) che, nello stesso dominio, sia sempre positiva, sempre minore o uguale a \(f(x)\) e non integrabile in senso generalizzato: se queste condizioni sono soddisfatte ne consegue subito la non integrabilità in senso generalizzato della \(f(x)\). La funzione che subito viene in mente, viste anche le caratteristiche di \(f(x)\), è \(g(x)=-1/x\), che sappiamo essere non integrabile in senso generalizzato in un intervallo del tipo \(]-\infty;a]\), con \(a<0\). Si tratta quindi di dimostrare che:
\[-\frac{1}{x}<\arccos \left( \sqrt{\frac{4x+7}{4x-7}} \right)\quad \forall x<-\frac{7}{4}\]
o, in modo equivalente, effettuando una simmetria \(x\leftrightarrow –x\):
\[\frac{1}{x}<\arccos \left( \sqrt{\frac{4x-7}{4x+7}} \right)\quad \forall x>\frac{7}{4}\ .\]
Poiché, per \(x>7/4\), i due termini della disuguaglianza rappresentano, in radianti, angoli tra 0 e \(\pi/2\), per i quali ad angolo minore corrisponde coseno maggiore, considerando il coseno di entrambi i membri la disequazione da verificare diventa:
\[\cos \left( \frac{1}{x} \right)>\sqrt{\frac{4x-7}{4x+7}}\quad \forall x>\frac{7}{4}\to {{\cos }^{2}}\left( \frac{1}{x} \right)>\frac{4x-7}{4x+7}\quad \forall x>\frac{7}{4}\ .\]
Dato che
\[\frac{4x-7}{4x+7}<\frac{4x-7}{4x}\quad \forall x>\frac{7}{4}\ \to \frac{4x-7}{4x+7}<1-\frac{7}{4x}\quad \forall x>\frac{7}{4}\ \]
se dimostriamo che
\[1-{{\sin }^{2}}\left( \frac{1}{x} \right)>1-\frac{7}{4x}\quad \forall x>\frac{7}{4}\]
a maggior ragione abbiamo dimostrato la nostra tesi. Ma la precedente si riduce a verificare che:
\[{{\sin }^{2}}\left( \frac{1}{x} \right)<\frac{7}{4x}\quad \forall x>\frac{7}{4}\]
e poiché \({{\sin }^{2}}\alpha <\sin \alpha <\alpha ,\quad 0<\alpha <\pi /2\), si ha:
\[{{\sin }^{2}}\left( \frac{1}{x} \right)<\sin \left( \frac{1}{x} \right)<\frac{1}{x}<\frac{7}{4x}\quad \forall x>\frac{7}{4}\]
come volevasi dimostrare.
Massimo Bergamini