Un problema di min/max vincolato nel piano complesso

Ricevo da Marco la seguente domanda:

Salve professore, le pongo il seguente problema: tra gli \(z\) complessi tali che
                                                            \[\left| z-1 \right|<\left| z+i+3 \right|\]
determinare, se esistono, quello per cui \(\left| z-3i+4 \right|\) risulta minimo o risulta massimo.
Grazie. 
 
Gli rispondo così:
 
Caro Marco,
il problema può essere visto come un problema di estremi vincolati di una funzione reale a due variabili reali \(x\) e \(y\), cioè la funzione
                     \[\left| z-3i+4 \right|=\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}}=f\left( x,y \right)\]
essendo \(z=x+iy\).
Il vincolo è costituito dalla condizione
\[\left| z-1 \right|<\left| z+i+3 \right|\to \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}<\sqrt{{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}\]
che si riduce a
\[y<-4x-\frac{9}{8}\]
cioè l’insieme dei punti \((x,y)\) del piano complesso che costituiscono il semipiano \(\alpha\) “al di sopra” della retta di equazione \(y=-4x-9/8\), i punti della retta esclusi.
La funzione \(f(x,y)\) assume valore costante \(r\) nei punti di una circonferenza di centro \(z_0=(-4,3)\) e raggio \(r\): poiché esiste una circonferenza di raggio minimo tangente alla retta origine del semipiano \(\alpha\), mentre non vi è un limite superiore ai raggi delle circonferenze che intersecano il semipiano stesso, si potrebbe pensare che la funzione ammetta un min, nel punto \(T(-41/34,503/136)\) di tangenza, ma non un max; in realtà il punto \(T\) non rappresenta un punto di minimo perché i punti della retta sono esclusi dall’insieme, per cui la funzione, per \(z\) prossimo a \(T\), tende ad un valore che è estremo inferiore per la funzione ristretta al semipiano \(\alpha\), ma non minimo.
 
Massimo Bergamini

Per la lezione