Ricevo da Paola la seguente domanda:
Salve prof,
le chiedo nuovamente aiuto per determinare dominio e segno della funzione
\[f\left( x,y \right)=\frac{y-x}{{{x}^{2}}-4}\]
con relativa rappresentazione grafica.
Le rispondo così:
Cara Paola,
riguardo al dominio, si considera semplicemente la condizione di non nullità del denominatore, cioè \(x\neq\pm 2\): il dominio pertanto è rappresentato dal piano cartesiano privato delle rette parallele all’asse \(y\) di equazioni \(x=-2\) e \(x=2\). Riguardo al segno, le regioni del dominio nelle quali risulta \(f(x,y)>0\) sono rappresentate dall’unione delle soluzioni dei seguenti sistemi di disequazioni:
\[\left\{ \begin{array}{ll} y-x>0 \\ x^2-4>0 \end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{ll} y-x<0 \\ x^2-4<0 \end{array} \right.\]
cioè:
\[\left\{ \begin{array}{ll} \;\;\;\;y>x \\ x<-2\vee x>2 \end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{ll} y<x \\ -2<x<2 \end{array} \right.\]
Nella figura sono rappresentate in colore le regioni in cui la funzione esiste ed è positiva.
Massimo Bergamini