Ricevo da Roberta la seguente domanda:
Caro Prof, mi potrebbe aiutare a studiare questa funzione?
\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{\left| x \right|}{{e}^{\frac{1-x}{2-x}}}\quad .\]
In particolare nel determinare gli asintoti obliqui non so quale metodo utilizzare: trovo il coefficiente angolare \(m=e\) poi però non riesco a trovare \(q\). Mi può mostrare i passaggi dettagliati? La ringrazio!
Ho visto che gli asintoti obliqui posso anche trovarli utilizzando i simboli di Landau, però mi sembra complicato. Lei quale mi consiglia?
Le rispondo così:
Cara Roberta,
non mi sembra necessario utilizzare i simboli di Landau (o piccolo…) per calcolare i limiti che determinano gli asintoti obliqui in questo esempio. Innanzitutto aiuta a chiarire le idee anche solo una scrittura della funzione senza il valore assoluto, tenendo conto che la funzione esiste per \(x\neq 0\wedge x\neq 2\):
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} xe^{\frac{1-x}{2-x}}\;\;\;\;\;\;x>0,x\neq 2 \\ -xe^{\frac{1-x}{2-x}}\;\;\;x<0 \end{array} \right.\;\;.\]
La funzione, ovunque positiva, è prolungabile per continuità in \(x=0\), dove non è definita ma ammette limite zero; è zero anche il limite per \(x\) che tende a 2 da sinistra, in quanto l’esponente \((1-x)/(2-x)\) tende in tal caso a \(-\infty\), rendendo con ciò infinitesimo l’esponenziale, mentre tale esponente tende a \(+\infty\), e con esso \(f(x)\), nel limite per \(x\) che tende a 2 da destra. Riguardo agli asintoti obliqui, analizziamo la cosa nei limiti \(+\infty\) e \(-\infty\) separatamente.
Per \(x\) che tende a \(+\infty\) il rapporto \(m=f(x)/x\) chiaramente tende ad \(e\), mentre il termine noto è dato, se esiste, dal limite
\[q=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x{{e}^{\frac{1-x}{2-x}}}-ex \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left( {{e}^{\frac{1-x}{2-x}}}-e \right)\]
che si presenta nella forma indeterminata \(\infty\cdot 0\); possiamo passar ad una forma equivalente del tipo \(0/0\) e utilizzare il teorema di de L’Hopital:
\[q=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{\frac{1-x}{2-x}}}-e}{\frac{1}{x}} \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{-{{e}^{\frac{1-x}{2-x}}}/{{\left( 2-x \right)}^{2}}}{-1/{{x}^{2}}} \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{1-x}{2-x}}}\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}=e\ .\]
Pertanto, per \(x\) che tende a \(+\infty\) il grafico tende alla retta \(y=ex+e\).
Analogamente, per \(x\) che tende a \(-\infty\), si ha:
\[m=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{e}^{\frac{1-x}{2-x}}} \right)=-e\quad \ q=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -x{{e}^{\frac{1-x}{2-x}}}+ex \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{{{e}^{\frac{1-x}{2-x}}}{{x}^{2}}}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}} \right)=-e\]
per cui, nel limite per \(x\) che tende a \(-\infty\), il grafico tende alla retta \(y=-ex-e\).
La funzione derivata si presenta così:
\[f^\prime (x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{e^{(1-x)/(2-x)}(x^2-5x+4)}{(2-x)^2}\;\;\;\;x>0,x\neq 2 \\ -\frac{e^{(1-x)/(2-x)}(x^2-5x+4)}{(2-x)^2}\;\;x<0 \end{array} \right.\;\;.\]
per cui si osserva che la funzione presenta un max relativo in \(x=1\) e un min relativo in \(x=4\), valori nei quali la derivata si annulla e cambia segno in modo opportuno.
Massimo Bergamini