Uno sviluppo in polinomi di McLaurin

Ricevo da Roberta la seguente domanda:

Caro Prof, non so come risolvere questo esercizio:
Data la funzione
                                                  \[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+\alpha x+2}{1+2x}\]
con \(\alpha\) parametro reale,
a) determinare la formula di Mc Laurin di ordine 3 di \(f\);
b) determinare il parametro \(\alpha\) in modo che \(f^{(3)}(0)=2\).
La soluzione della b) è \(55/12\), ma non capisco come ci si arriva. Mi può aiutare? La ringrazio..
 
Le rispondo così:
 
Cara Roberta,
per determinare lo sviluppo di Mc Laurin di \(f(x)\) fino al 3° ordine ci occorrono le derivate fino al terzo ordine della funzione stessa, e il loro valore in \(x=0\):
\[{{f}^{(1)}}\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}+2x+\alpha -4}{{{\left( 1+2x \right)}^{2}}}\Rightarrow {{f}^{(1)}}\left( 0 \right)=\alpha -4\]
\[{{f}^{(2)}}\left( x \right)=\frac{2\left( 9-2\alpha \right)}{{{\left( 1+2x \right)}^{3}}}\Rightarrow {{f}^{(2)}}\left( 0 \right)=2\left( 9-2\alpha \right)\]
\[{{f}^{(3)}}\left( x \right)=\frac{12\left( 2\alpha -9 \right)}{{{\left( 1+2x \right)}^{4}}}\Rightarrow {{f}^{(3)}}\left( 0 \right)=12\left( 2\alpha -9 \right)\]
Pertanto, tenedo conto che \(f(0)=2\), e che il coefficiente di \(x^n\) nello sviluppo polinomiale di Mc Laurin è dato da \({f}^{(n)}(0)/n!\), si ha:
\[f\left( x \right)=2+\left( \alpha -4 \right)x+\left( 9-2\alpha \right){{x}^{2}}+2\left( 2\alpha -9 \right){{x}^{3}}\quad .\]
La richiesta al punto b) si traduce semplicemente nella richiesta che \(12\left( 2\alpha -9 \right)=2\), cioè \(\alpha =\frac{55}{12}\).
 
Massimo Bergamini

Per la lezione