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Funzioni esponenziali

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Ricevo da Anna Rita la seguente domanda:

Gentile Professore, ho un altro quesito da porle:
La funzione
                                                                  \[y={{e}^{x}}\left( x-1 \right)\]
risulta
a) crescente per \(x>0\)
b) decrescente per \(x<0\)
c) crescente per \(x>1\)
d) decrescente per \(x<1\)
e) sempre crescente.
 
Per quali valori di \(x\) il grafico della curva di equazione
\[y=-4{{e}^{x}}+1\]
si trova al disopra del grafico della retta \(y=0\):
1) per ogni \(x<0\)
2) per \(x>\ln(1/4)\)
3) per ogni \(x<\ln(1/4)\)
4) per nessun valore di \(x\)
5) nessuno dei casi considerati è corretto.
La ringrazio
 
Le rispondo così:
 
Cara Anna Rita,
la prima funzione ha derivata
\[y'=x\cdot {{e}^{x}}\]
che è positiva per \(x>0\), negativa per \(x<0\), per cui la funzione è crescente in tutta la semiretta \(x>0\), decrescente nella semiretta \(x<0\), per cui mi sembrano corrette le risposte a), b) e c), non corrette la d) e la e).
La seconda funzione ha un grafico che sta al di sopra dell’asse \(y\) se il suo valore è positivo, cioè se \(x\) soddisfa la disequazione
\[-4{{e}^{x}}+1>0\to {{e}^{x}}<\frac{1}{4}\to x<\ln \left( \frac{1}{4} \right)\]
che è la risposta 3).
 
Massimo Bergamini

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