Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, poiché tra qualche mese ho l’esame di analisi 1 vorrei chiederle una spiegazione su una funzione. Data la seguente funzione
\[y=x{{e}^{\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-2}}}\]
tracciare il suo grafico determinandone sia l’estremo superiore che inferiore. Professore, ma che differenza esiste tra massimo e minimi assoluti ed estremi sia superiore che inferiore? Gli estremi, in tutte le funzioni, come vengono calcolati, c’è una regola ben precisa? Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Elisa,
estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione \(f(x)\), diciamo \(inf(f)\) e \(sup(f)\), sono, se esistono, l’estremo superiore e l’estremo inferiore dell’insieme immagine, o codominio \(C_f\), della funzione stessa: in generale, se l’estremo superiore di un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) appartiene al sottoinsieme stesso lo si dice massimo per quel sottoinsieme, e analogamente se l’estremo inferiore appartiene al sottoinsieme stesso lo si dice minimo. Massimo e minimo assoluti di una funzione \(f\) limitata sono quindi l’estremo superiore \(sup(f)\) e l’estremo inferiore \(inf(f)\) nel caso che appartengano al codominio. Ad esempio, la funzione \(f(x)=e^x\), limitata inferiormente in quanto avente codominio \(C_f=\left\{ y\in \mathbb{R}:y>0 \right\}\), ammette \(inf(f)=0\), ma non ammette minimo assoluto, perché il valore 0 non appartiene a \(C_f\), pur essendo tale valore, come si dice, d’accumulazione per \(C_f\).
Veniamo alla funzione in questione, il cui dominio è \(\mathbb{R}-\left\{ \pm \sqrt{2} \right\}\), ed è continua e derivabile ovunque è definita. La funzione è dispari, quindi può essere studiata anche solamente nella semiretta degli \(x\) positivi, potedono dedurre il resto per simmetria rispetto all’origine. Per \(x\) che tende a \(\sqrt{2}\) da sinistra la funzione tende a 0 perché l’esponente di \(e\) tende a \(-\infty\), mentre per \(x\) che tende a \(\sqrt{2}\) da destra la funzione tende a \(+\infty\). Si ricava anche facilmente che la funzione ammette come asintoto obliquo agli infiniti la retta \(y=ex\). La funzione derivata:
\[y'=\frac{{{e}^{\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-2}}}\left( {{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+4 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}}\]
si annulla per \(x=\pm \sqrt{3+\sqrt{5}}\) e per \(x=\pm \sqrt{3-\sqrt{5}}\): analizzando l’andamento del segno di \(y^\prime\) si deduce che i quattro valori di \(x\), dal minore al maggiore, corrispondono alternativamente a un max, un min, un max e un min relativi. Riguardo a \(inf(f)\) e \(sup(f)\), e a max e min assoluti, la questione non si pone, dal momento che il codominio della funzione non è un sottoinsieme limitato: la funzione infatti tende sia a \(+\infty\) che a \(-\infty\).
Massimo Bergamini