Ricevo da Adriano la seguente domanda:
Caro professore, se ho la funzione
\[f\left( x \right)=-{{e}^{\left| x \right|-x}}-2\]
come posso rappresentare graficamente \(|f(x)|\)? Inoltre come posso determinare una restrizione \(I\) del dominio in modo che \(f(x)\) sia invertibile, per poi determinarmi \(f^{-1}(x)\)? Grazie per l'attenzione e la pazienza!
Gli rispondo così:
Caro Adriano,
innanzitutto osserviamo che, liberandoci del valore assoluto, otteniamo:
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\;\;\;\;\;\;-3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\geq 0 \\ -e^{-2x}-2\;\;\;\;x<0\end{array} \right.\;\;\;.\]
La funzione è ovunque negativa, quindi \(|f(x)|=-f(x)\), cioè il grafico di \(|f(x)|\) è il simmetrico del grafico di \(f(x)\) rispetto all’asse \(x\). Facilmente si osserva che \(f(x)\) è monotona crescente per \(x\leq 0\), pertanto, detta \(f_I(x)\) la restrizione di \(f(x)\) per \(I=\{x\leq 0\}\), questa risulta invertibile:
\[{{f}_{I}}^{-1}\left( x \right)=-\frac{1}{2}\ln \left( -x-2 \right)\quad x\le -3\]
dove la restrizione \(x\leq -3\) derivata dal fatto che \(y=f_I(x)\) è tale che \(y\leq -3\).
Il grafico di \({{f}_{I}}^{-1}\left( x \right)\) si ottiene da quello di \(f_I(x)\) per simmetria rispetto alla retta \(y=x\).
Massimo Bergamini