Equazioni complesse

Ricevo da Bruno la seguente domanda:

Buongiorno professore,
sono uno studente al primo anno di ingegneria meccanica. Le scrivo in quanto non riesco a risolvere le seguenti equazioni:
a) \({{z}^{3}}={{\left| z \right|}^{2}}\)
b) \({{\left( z+i \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{3}+i \right)}^{3}}\)
c) \({{\left| z \right|}^{2}}\cdot {{z}^{2}}=i\)
d) \({{\left| z \right|}^{2}}+5z+10i=0\)

La ringrazio per l’attenzione data,
Cordiali Saluti
 
Gli rispondo così:
 
Caro Bruno,
benché in alcuni casi risulti forse più conveniente una notazione esponenziale per la variabile \(z\), procedo con la più usuale notazione cartesiana, \(z=x+iy\), nei casi a), c) e d) trasformando l’equazione complessa in un sistema di due equazioni reali, nel caso b) utilizzando direttamente la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado e ricavando le radici complesse dell’unità immaginaria:
a) \({{\left( x+iy \right)}^{3}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\Rightarrow\)
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x^3-3xy^2=x^2+y^2 \\ 3x^2y-y^3=0 \end{array} \right. \Rightarrow \]
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x^3-3xy^2=x^2+y^2 \\ y=0\vee y=\sqrt{3}x \vee y=-\sqrt{3}x \end{array} \right. \]
Sostituendo nella prima equazione i valori di \(y\) ricavati dalla seconda, si ottiene:
            \[y=0\to x=0\vee x=1,\quad y=\sqrt{3}x\to x=-\frac{1}{2}\wedge y=-\frac{\sqrt{3}}{2},\ y=-\sqrt{3}x\to x=-\frac{1}{2}\wedge y=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
Per cui le soluzioni sono:
\[{{z}_{1}}=0,\quad {{z}_{2}}=1,\quad {{z}_{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},\quad {{z}_{4}}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\quad .\]
b) \({{z}^{2}}+2iz-1=8i\Rightarrow\)
    \[\Rightarrow {{z}^{2}}+2iz-1-8i=0\Rightarrow {{z}_{1,2}}=-i+2\sqrt{8i}\Rightarrow {{z}_{1,2}}=-i\pm \left( 2+2i \right)\]
cioè  \({{z}_{1}}=2+i\quad {{z}_{2}}=-2-3i\).
 
c) \(\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+2ixy-{{y}^{2}} \right)=i\Rightarrow \)
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x^4-y^4=0 \\ 2x^3y+2xy^3=1 \end{array} \right. \Rightarrow \]
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x=\pm y \\ 2x^3y+2xy^3=1 \end{array} \right.\]
Sostituendo gli esiti della prima equazione nella seconda otteniamo:
\[x=y\to {{x}^{4}}=\frac{1}{4}\to x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2},y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2};\quad x=-y\to {{x}^{4}}=-\frac{1}{4}\to \not{\exists }x,y\]
per cui:
\[{{z}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2},\quad {{z}_{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\quad .\]
d) \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5x+5iy+10i=0\Rightarrow\)
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x^2+y^2+5x=0 \\ y=-2 \end{array} \right. \Rightarrow \]
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x^2+5x+4=0 \\ y=-2 \end{array} \right. \Rightarrow \]
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x=-1\vee x=-4 \\ y=-2 \end{array} \right. \Rightarrow \]
per cui:
\[{{z}_{1}}=-4-2i,\quad {{z}_{2}}=-1-2i\quad .\]
 
Massimo Bergamini

Per la lezione