Ricevo da Antonella la seguente domanda:
Buongiorno professore; non riesco a risolvere il seguente limite senza applicare De L'Hopital:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{x}}\quad .\]
Mi può aiutare? Grazie
Le rispondo così:
Cara Antonella,
proviamo ad ottenere il risultato atteso, cioè \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{x}}=1\), in questo modo: posto che \({{x}^{x}}={{e}^{x\ln x}}\), si tratta di dimostrare, senza il teorema di de L’Hopital, che
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( x\ln x \right)=0\quad .\]
Se poniamo \(t=1/x\), possiamo trasformare il nostro limite nel limite equivalente
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( x\ln x \right)=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1/t \right)}{t}=-\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( t \right)}{t}\quad .\]
Ora mostriamo che, per ogni \(t\), si ha \(t>\ln t\), e in particolare quindi che per ogni \(t>1\) si ha \(0<\ln t<t\); infatti, per \(0<t\leq 1\) è sicuramente vero che \(t>\ln t\) perché \(\ln t < 0\) , ma anche per \(t>1\) possiamo dire altrettanto, poiché, per ogni \(n\) naturale, se \(e^n\leq x\leq e^{n+1}\), e quindi \(x\geq e^n>2^n\geq n+1\), si ha \(n\leq \ln x\leq n+1\), cioè \(\ln x \leq n+1 < x\).
(Che sia \(2^n\geq n+1\) per ogni naturale \(n\) consegue dal fatto che in generale, per ogni \(b\geq 0\), \((1+b)^n\geq 1+nb\), come conseguenza della formula dello sviluppo binomiale, e in particolare \(2^n=(1+1)^n\geq 1+n\)).
Poiché quindi, per \(t>1\):
\[0<\ln t<t\to 0<\ln \sqrt{t}<\sqrt{t}\to 0<\frac{1}{2}\ln t<\sqrt{t}\to 0<\ln t<2\sqrt{t}\to 0<\frac{\ln t}{t}<\frac{2}{\sqrt{t}}\]
applicando il teorema dei due carabinieri, si ottiene, con un po’ di fatica, il risultato sperato.
Massimo Bergamini